得bn＝
1
n＋n－
1?1?1－＝??，
2?2n－12n＋1?
1??1??11??1－1??＝1?1－1?<1，
所以Sn＝??1－?＋?－?＋…＋?????2??3??35??2n－12n＋1??2?2n＋1?2
?1?*
所以要使不等式Sn ?2? 19．(2019·洛阳市统考)已知数列{an}的前n项和为Sn，an≠0，a1＝1，且2anan＋1＝4Sn－3(n∈N)． (1)求a2的值并证明an＋2－an＝2； (2)求数列{an}的通项公式． 解 (1)令n＝1得2a1a2＝4S1－3， 1 又a1＝1，所以a2＝. 22anan＋1＝4Sn－3，① 2an＋1an＋2＝4Sn＋1－3.② ②－①得，2an＋1(an＋2－an)＝4an＋1. 因为an≠0，所以an＋2－an＝2. (2)由(1)可知，数列a1，a3，a5，…，a2k－1，…为等差数列，公差为2，首项为1， 所以a2k－1＝1＋2(k－1)＝2k－1， 即n为奇数时，an＝n. 数列a2，a4，a6，…，a2k，…为等差数列，公差为2， 113首项为，所以a2k＝＋2(k－1)＝2k－， 2223即n为偶数时，an＝n－. 2 * n，n为奇数，?? 综上所述，an＝?3 n－，n为偶数.??2 (1)求数列{an}的通项公式； 20．(2019·唐山模拟)已知{an}是公差为正数的等差数列，且a3a6＝55，a2＋a7＝16. (2)若an＝b1＋＋＋…＋，求数列{bn}的前n项和Sn. 352n－1解 (1)∵{an}是公差d>0的等差数列， ∴由a3a6＝55，a2＋a7＝16＝a3＋a6， 解得a3＝5，a6＝11， ??a1＋2d＝5， ∴? ?a1＋5d＝11，? b2b3bn ??a1＝1， 解得? ?d＝2，? ∴an＝2n－1. (2)∵an＝b1＋＋＋…＋， 352n－1 b2b3bn ∴an－1＝b1＋＋＋…＋(n≥2，n∈N)， 352n－3两式相减，得＝2(n≥2，n∈N)， 2n－1则bn＝4n－2(n≥2，n∈N)， 当n＝1时，b1＝1， ?1，n＝1，? ∴bn＝? ??4n－2，n≥2， * b2b3 bnbn－1 * * ＋4n－2 ＝2n－1. 2 ∴当n≥2时，Sn＝1＋ n－ 又n＝1时，S1＝1，适合上式， 所以Sn＝2n－1. 2