微专题1 高考中的函数与导数问题
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),g(x)=-x2-x.若f(x)=g(x)h(x),h(x)为一元二次函数,f(x)的最高次项的系数为-1,则f(x)的极小值点为 A.x=1
B.x=1+
10 10C.x=1- 22
( )
10或2
D.x=1+1-
10 2
2.已知函数f(x)=x+e-x,若存在x∈R,使得f(x)≤ax成立,则实数a的取值范围是 A.(-∞,1-e]
B.(1,+∞)C.(1-e,1] D.(-∞,1-e]∪(1,+∞)
( )
3.已知函数f(x)的定义域为R,其图象关于直线x=1对称,其导函数为f'(x),当x<1时,2f(x)+(x- 1)f'(x)<0,那么不等式(x+1)2f(x+2)>f(2)的解集为 A.(-∞,0) B.(-∞,-2)C.(-2,0) D.(-∞,-2)∪(0,+∞)
4.若函数f(x)=m-x2+2ln x在[e2,e]上有两个不同的零点,则实数m的取值范围为 A.(1,e2-2]B.[4+e4,e2-2]C.(1,4+e4] D.[1,+∞) 二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知函数f(x)=ex+2x2-4x(e为自然对数的底数),则函数f(x)的图象在x=1处的切线方程是 . 6.已知函数f(x)=ln(x+1)-2的图象的一条切线为y=ax+b,则的最小值是 .
????
1
11
( )
( )
三、解答题(共48分)
7.(12分)已知函数f(x)=xex+2x+aln x,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线x+2y-1=0垂直. (1)求实数a的值; (2)求证:f(x)>x2+2.
8.(12分)已知f(x)=x2-2ax+ln x. (1)当a=1时,求f(x)的单调性;
(2)若f'(x)为f(x)的导函数, f(x)有两个不相等的极值点x1,x2(x1 ??2+????+1 ?? 9.(12分)已知函数f(x)=(x>0,a∈R). (1)讨论函数f(x)的零点的个数; (2)若函数g(x)=ex-ln x+2x2+1,且对于任意的x∈(0,+∞),总有xf(x)≤g(x)成立,求实数a的最大值. 10.(12分)已知函数f(x)=e1-x,g(x)=x2+ax-a(a∈R)(e为自然对数的底数). (1)求证:当a≥-2且x<1时,f(x)>g(x); (2)判断“a≤-4”是“φ(x)=f(x)·g(x)存在最小值”的什么条件,并予以证明. 答案 1.A 解法一 由题易知0,-1为方程g(x)=0的根,则0,-1为函数f(x)的零点.由于f(x)=f(2-x),即函数f(x)的图象关于直线x=1对称,则2,3也为函数f(x)的零点,所以f(x)=-(x+1)x(x-2)(x-3)= -[x(x-2)][(x+1)(x-3)]=-(x2-2x)(x2-2x-3),f'(x)=-(2x-2)(x2-2x-3)-(x2-2x)(2x-2)= -4(x-1)(x2-2x-2)=-4(x-1)(x-1+1- 10 3 10 10)(x-1-),令22 f'(x)>0,得x<1- 10或2 1 10,令2 f'(x)<0,得 或x>1+ 10,所以2 x=1为函数f(x)的极小值点,故选A. 解法二 由题易知0,-1为方程g(x)=0的根,则0,-1为函数f(x)的零点.由于f(x)=f(2-x),即函数f(x)的图象关于直线x=1对称,则2,3也为函数f(x)的零点,所以f(x)=-(x+1)x(x-2)(x-3).把函数f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的图象对应的函数为m(x)=f(x+1)=-(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)= -(x2-1)(x2-4)=-(x4-5x2+4),m'(x)=-4x(x2-)=-4x(x-25 10 10)(x+),令22 m'(x)>0,则x<- 10或2 0 10,令2 m'(x)<0,则-故选A. 10 10 2.D 解法一 可以考虑研究问题“对任意的x∈R,f(x)>ax恒成立”,即x+e??>ax在R上恒成立. 1 ①当x=0时,该不等式显然成立; ②当x>0时,a<1+??e??恒成立,设g(x)=1+??e??,显然g(x)在(0,+∞)上单调递减,且当x→+∞ 时,g(x)→1,∴a≤1; 1 1 ③当x<0时,a>1+??e??恒成立,由②知g'(x)=-??2e??,当x∈(-∞,-1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当 x∈(-1,0)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,∴当x=-1时,g(x)有最大值,最大值为1-e,∴a>1-e,∴1-e 1??+1 ∴实数a的取值范围为(-∞,1-e]∪(1,+∞).故选D. 解法二 利用导数工具研究函数f(x)的性质,得到函数f(x)的图象如图D 1-1所示. 图D 1-1 设直线y=kx与f(x)的图象相切, 切点为(x0,x0+e-??0),∴k=1-e-??0, ∴切线方程为y=(1-e-??0)(x-x0)+x0+e-??0=(1-e-??0)x+(x0+1)e-??0, ∴(x0+1)e-??0=0,x0=-1,∴k=1-e-??0=1-e. 又当x0→+∞时,k→1,∴直线y=x为f(x)图象的渐近线. 数形结合知,实数a的取值范围为(-∞,1-e]∪(1,+∞).故选D. 3.C 由已知2f(x)+(x-1)f'(x)<0可构造函数φ(x)=(x-1)2f(x),则φ'(x)=2(x-1)f(x)+(x-1)2f'(x)= (x-1)[2f(x)+(x-1)f'(x)],当x<1时,φ'(x)>0,所以φ(x)在区间(-∞,1)上为增函数.点P(x0,y0)关于直线x=1的对称点P'(2-x0,y0),由于函数f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(x0)=f(2-x0),而 φ(2-x0)=(2-x0-1)2f(2-x0)=(x0-1)2f(x0)=φ(x0),所以,函数φ(x)的图象也关于直线x=1对称,所以φ(x)在区间(1,+∞)上为减函数.不等式(x+1)2f(x+2)>f(2)可化为φ(x+2)>φ(2),所以|x+2-1|<1,得-2 4.C 令f(x)=m-x2+2ln x=0,则m=x2-2ln x.令g(x)=x2-2ln x,则g'(x)=2x-??=间[2,1]上单调递减,在区间(1,e]上单调递增, e1 22(??-1)(??+1) ?? ,∴g(x)在区 ∴g(x)min=g(1)=1,又g(2)=4+4,g(e)=e2-2,4+4<5,e2-2>2.72-2>5,∴g(2) e e e e 1111 函数f(x)在[e2,e]上有两个不同的零点,则实数m的取值范围为(1,4+e4],故选C. 5.ex-y-2=0 f'(x)=ex+4x-4,∴切线的斜率k=f'(1)=e,当x=1时,f(1)=e+2-4=e-2,∴函数f(x)的图象在x=1处的切线方程是y-(e-2)=e(x-1)=ex-e,即ex-y-2=0. 11