第二章 函数概念与基本初等函数（Ⅰ）第6课 函数的奇偶性与周期
性课时分层训练
A组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、填空题
1．在函数y＝xcos x，y＝e＋x，y＝lgx－2，y＝xsin x中，偶函数的个数是________． 2 [y＝xcos x是奇函数，y＝lgx－2和y＝xsin x是偶函数，y＝e＋x是非奇非偶函数．]
1＋x2．函数y＝log2的图象关于________对称．(填序号)
1－x①原点；②y轴；③y＝－x；④y＝x. 1＋x① [由＞0得－1＜x＜1，
1－x即函数定义域为(－1,1)，
1－x1＋x又f(－x)＝log2＝－log2＝－f(x)，
1＋x1－x1＋x∴函数y＝log2为奇函数．]
1－x3．(2016·苏州期中)定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝2－x，则f(－1)＋f(0)＋f(3)＝________.
－2 [∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(0)＝0. 又x>0时，f(x)＝2－x，
∴f(－1)＋f(0)＋f(3)＝－f(1)＋0＋f(3)＝－2＋1＋0＋8－9＝－2.]
4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x，则
2
2
x22x2
x2
x2
f(2 019)＝________.
－2 [∵f(x＋4)＝f(x)， ∴f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)． 又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×1＝－2， 即f(2 019)＝－2.]
5．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. 【导学号：62172032】
－－x－1 [∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝x＋1， ∴当x＜0时，－x＞0，
1
2
f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，
即x＜0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.] 6．(2017·安徽蚌埠二模)函数f(x)＝【导学号：62172033】
－2 [由题意知，g(x)＝(x＋2)(x＋a)为偶函数， ∴a＝－2.]
7．(2016·山东高考改编)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x－1；当－1?1??1?1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f?x＋?＝f?x－?，则f(6)＝________.
2?2??2?
1?1??1?2 [由题意知当x>时，f?x＋?＝f?x－?，
2?2??2?则当x>0时，f(x＋1)＝f(x)． 又当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)， ∴f(6)＝f(1)＝－f(－1)． 又当x<0时，f(x)＝x－1， ∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.]
8．(2016·四川高考)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0 3 3 x＋2 xx＋a是奇函数，则实数a＝________. ?5?x＝4，则f?－?＋f(2)＝________. ?2? 1 5??1?1???－2 [∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f?－?＝f?－?＝－f??＝－42＝－2，f(2)＝f(0)?2??2??2? ?5?＝0，∴f?－?＋f(2)＝－2＋0＝－2.] ?2? 9．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x＋2x，若f(2－a)>f(a)，则实数a的取值范围是________. 【导学号：62172034】 (－2,1) [∵f(x)＝x＋2x＝(x＋1)－1在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为R上的奇函数，故f(x)在(－∞，0)上单调递增． ∴f(x)在R上是单调递增函数． 又f(2－a)>f(a)可知2－a>a，解得－2 2 [因为y＝sin xsin x为奇函数，其最大值与最小值之和为0，因此函数y＝1－42 x＋x＋1x＋x2＋1 4 2 2 2 2 2 2 sin x(x∈R)的最大值与最小值之 x＋x2＋1 4 (x∈R)的最大值与最小值之和为2.] 2 二、解答题 11．若f(x)，g(x)是定义在R上的函数，f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)＋g(x)＝ 1 ，求f(x)的表达式． x－x＋1 2 [解] 在f(x)＋g(x)＝ 1 ， －－x＋1 1 中用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝ x－x＋1 2 －x2 又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数， 所以－f(x)＋g(x)＝ 1 ， x＋x＋1 2 1 fx＋gx＝，??x－x＋1 联立方程?1 －fx＋gx＝，??x＋x＋1 2 2 111?x?＝－2两式相减得f(x)＝?2. ?42 2?x－x＋1x＋x＋1?x＋x＋1 2 12．已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝x. 4＋1(1)求f(1)和f(－1)的值； (2)求f(x)在[－1,1]上的解析式. 【导学号：62172035】 [解] (1)∵f(x)是周期为2的奇函数， ∴f(1)＝f(2－1)＝f(－1)＝－f(1)， ∴f(1)＝0，f(－1)＝0. (2)由题意知，f(0)＝0.当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)． 由f(x)是奇函数， 2 ∴f(x)＝－f(－x)＝－－x＝－x， 4＋14＋1 2 －xxx??2综上，在[－1,1]上，f(x)＝?－，x∈－1，0 4＋1??0，x∈{－1，0，1}. xx2 ，x∈0，1，x4＋1 x， B组 能力提升 (建议用时：15分钟) 1．(2017·启东中学高三第一次月考)已知函数f(x)在定义域[2－a,3]上是偶函数，在 3