§2.2 等差数列(一)
课时目标
1．理解等差数列的概念． 2．掌握等差数列的通项公式．
1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
a＋b2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，并且A＝.
2
3．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝a1＋(n－1)d.
4．等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列．
一、选择题
1．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为( ) A．2 B．3 C．－2 D．－3 答案 C
2．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于( ) A．30° B．60° C．90° D．120° 答案 B
*
3．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1(n∈N)，则a101的值为( ) A．49 B．50 C．51 D．52 答案 D
4．一个等差数列的前4项是a，x，b,2x，则等于( ) 11A. B. 4212C. D. 33答案C
?2x＝a＋b，?x3解析 ?∴a＝，b＝x.
22??2b＝x＋2x，
ab
a1∴＝. b3
5．设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( ) A．1 B．2 C．4 D．6 答案 B
解析 设前三项分别为a－d，a，a＋d，则a－d＋a＋a＋d＝12且a(a－d)(a＋d)＝48，解得a＝4且d＝±2，又{an}递增，∴d>0，即d＝2，∴a1＝2.
6．等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{an}的通项公式是( )
*
A．an＝2n－2 (n∈N)
B．an＝2n＋4 (n∈N)
*
C．an＝－2n＋12 (n∈N)
*
D．an＝－2n＋10 (n∈N) 答案 D
*
a2·a4＝12，??
解析 由?a2＋a4＝8，
??d<0，
??a2＝6，
????a4＝2，
??a1＝8，
????d＝－2，
所以an＝a1＋(n－1)d，即an＝8＋(n－1)×(－2)，
得an＝－2n＋10. 二、填空题
11
7．已知a＝，b＝，则a、b的等差中项是
3＋23－2
________________________________________________________________________． 答案 3
8．一个等差数列的前三项为：a,2a－1,3－a.则这个数列的通项公式为________．
1
答案 an＝n＋1
4
5
解析 ∵a＋(3－a)＝2(2a－1)，∴a＝.
4537
∴这个等差数列的前三项依次为，，.
424
151n∴d＝，an＝＋(n－1)×＝＋1.
44449．若m≠n，两个等差数列m、a1、a2、n与m、b1、b2、b3、n的公差为d1和d2，则的值为________． 4答案
3
1
解析 n－m＝3d1，d1＝(n－m)．
31
又n－m＝4d2，d2＝(n－m)．
4
1
n－md134∴＝＝. d213
n－m410．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是________．
8
答案 3 解析 设an＝－24＋(n－1)d， ??a9＝－24＋8d≤08由?解得： 3??a10＝－24＋9d>0 d1 d2 三、解答题 11．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数． 解 设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，则由题设得 ??a－3d＋a－d＋a＋d＋a＋3d＝26，? ?a－da＋d＝40，? ??4a＝26，∴?22 ??a－d＝40. 13 a＝，??2 解得?3 d＝??2 13 a＝，??2或?3 d＝－??2.4 所以这四个数为2,5,8,11 或11,8,5,2. 12．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 4 (1)证明 ∵an＝4－ (n≥2)， an－1 (n≥2)，令bn＝ 1 . an－2 an－1 4* ∴an＋1＝4－ (n∈N)． an∴bn＋1－bn＝ 1111 －＝－＝ an＋1－2an－24an－22 2－ an1an－21 －＝＝. an－2an－22an－22 an1* ∴bn＋1－bn＝，n∈N. 2 11 ∴{bn}是等差数列，首项为，公差为. 22 111 (2)解 b1＝＝，d＝. a1－222 11n∴bn＝b1＋(n－1)d＝＋(n－1)＝. 222 1n2∴＝，∴an＝2＋. an－22n能力提升 13．一个等差数列的首项为a1＝1，末项an＝41 (n≥3)且公差为整数，那么项数n的取值个数是( ) A．6 B．7 C．8 D．不确定 答案 B 解析 由an＝a1＋(n－1)d，得41＝1＋(n－1)d， 40d＝为整数，且n≥3. n－1 则n＝3,5,6,9,11,21,41共7个． 1an－12an－1＋11* 14．已知数列{an}满足a1＝，且当n>1，n∈N时，有＝，设bn＝， 5an1－2anann∈N*. (1)求证：数列{bn}为等差数列． (2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由． an－12an－1＋11－2an2an－1＋1* (1)证明 当n>1，n∈N时，＝?＝ an1－2ananan－1 11111?－2＝2＋?－＝4?bn－bn－1＝4，且b1＝＝5. anan－1anan－1a1∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5. (2)解 由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1. 11* ∴an＝＝，n∈N. bn4n＋1