??klnr?C1??
??k??C2?若取??0时??0，则C2?0；而???时??k???0，得k??0/?；若再选取r?1时??0，则C1?0，故复电势为
W??0??lnz?0lnr?j0? ??????由于
I??J?dS???E?dS???
SS?可见上述变换将z平面上的扇形域变换为?平面上的矩形域，故穿出厚度为
d﹑宽度为u2?u1的矩形横截面的通量为
??k(u2?u1)d?因此，扇形电阻片的电阻为
?0d?dr(lnr2?lnr1)?0ln2 ??r1?r?dln2r1R??UBA?0??0?II??
扇形电阻片常用做电位器，改变?角可以线形地改变其他电阻。
4.19利用保角变换法求平行双导线间单位长度的电容。导线半径为a，线间距离为2d，两条导线上的电位分别为
U0U、?O，求单位长度的电容C0。 22解：选择对数函数可以给出和本题相同的等位线形状。考虑这样一个复变函数
W?C1?ln(z?b)?ln(z?b)? (1)
很容易证明它满足柯西—黎曼方程，即这是一个解析的复变函数。由W?u?jv，
z?x?jy以及上式可得
C1?(x?b)2?y2? u? (2) ln?22?2?(x?b)?y?yy?? v?C1?arctan()?arctan()? (3)
x?bx?b??取u为位函数，并令式(2)为常数，可得
(x?b)2?y22 ?k22(x?b)?y式中k为常数。变化上式可得
?b(1?k2)2?4b2k22 ?x? ??y?2221?k(1?k)??2显然，这是个圆方程，其圆心为
?b(1?k2)?x?1?k2 (4) ??y?0?半径
R?2bk/(1?k2)
现在求上式中的k和b。对于右边的一条导线，其圆心位置为
b(1?k2)x?d?,y?0 (5)
1?k2半径为
R?a?2bk/(1?k2)
从而解得
b?d2?a2??22? (6) dd?ak???aa2?最后由右边圆导线的边界条件确定式(2)中的常数C1。由以上的分析及所给边界条件，式(2)可写出
U0C12?ln(k0) 22从而解得C1为
C1?U0?dd?a2ln??2aa??22????
?U0d2arcch()a (7)
将此式代入(2),(3)则分别得到电位函数及通量函数
?(x?b)2?y2? (8) ??u?ln?22?d(x?b)?y?4arcch()?aU0?e??v?yy??arctan()?arctan()? (9) d?x?bx?b?2arcch()?a?U为了求单位长度的电容C0，需要求出单位长度导线上的总电荷量?l。例如对右边的圆导线，其单位长度的电荷量可根据高斯定律求得，它等于通过包围该单位长度导线的闭合面的总电通量。这个总电通量可由式(9)求出。该式的中括号内第一项等于2?，第二项等于零，于是有
?l?2??U0 d2arcch()a所以
C0??lU0U?(?0)22???darcch()a (10)
???0dd?aln(?)aa222
4.20内外半径分别为R1以及R2的同轴圆筒电容器，其中电介质的电容率为?，两圆筒之间的电压为U0，试求电容器内的电场分布及单位长度的电容。 解：圆通电容器内的电场是平行平面场，电势函数满足拉普拉斯方程，等势线是
r?常数的同心圆族，故选用对数的解析函数式，并令实部u为电势函数。以外圆筒为电势参考，并选定??2?的电力线为零通量线，边界条件为：
u(R2,?)?0,u(R1,?)?U0, v(r,2?)?0.将以上边界条件代入，可得待定常数
A??U0/lnR2, R1B1?U0lnR22?U0 ,B2?R2R2lnlnR1R1将A,B1,B2代入式子，得到复势函数，电势函数以及通量函数
???U0UlnR22?U0lnz?0?j, R2R2R2lnlnlnR1R1R1u??U0UlnR2U0Rlnr?0?ln2, RRRrln2ln2ln2R1R1R1v?U0(2???) R2lnR1而且
???(dw)*??(A)*??A(1)* Edzzrej? ＝
?A?j?*(e)?rU0ej? Rrln2R1可见，E线是又内外圆筒的辐射线族，电场大小
E?U0 R2rlnR1电容器单位长度的电容
C??/U0
因为v为E通量函数，D??E,内圆筒单位长度电荷
???D?ds???E?ds??v(r,0)?SS2?U0? R2lnR1故
c?2?? R2lnR14.21薄金属弧片的厚度为h，电导率为r，A,B两端加电压U0。计算弧片中电势的分布及导电片两端A,B间的电导。
解：导电片内电势函数满足拉普拉斯方程，所加电压A,B两端为等势线，两侧圆弧边界为电流线（或E线）。故选用对数的解析函数式，并令虚部v为电势函数，以??0(B端）为电势参考线，且选定内圆弧边界的E线为通量函数，边界条件如下：
v(r,0)?0,v(r,?)?U0, u(R1,?)?0.将以上边界条件代入，可得待定常数
B2?0,A?U0/?,B1??U0lnR1
?U0lnR1U0z,R1
电势函数以及通量函数为
??v?u?U0?U0lnz????ln?U0?,lnr?U0??lnR1?U0?lnrR1因为u为E通量函数，导电片厚为h，电流密度J??E，所以导电片中的电流
I??J?ds???E?ds??hu(R2,?)
?故导电片A,B两端电导
?hU0R2 ln?R1G?I?hR?ln2 U0?R1x?0(y?0)以及y?0(x?0)的两导体平4.22导体曲面xy?2的电势为200伏，
面的电势为零，求p点(x?1.5m,y?0.5m)的电场强度。
解：本例求解带电双曲导体柱面与直角相交导体平面间的电场。故选用解析函数式，并令虚部v为电势函数。以电力线x?y为零通量线，边界条件如下：