数学收敛思维与发散思维的协同
论 文
“数学收敛思维与发散思维的协同” 铅山三中 詹锋
数学收敛思维与发散思维的协同
收敛思维也叫“集合思维”、“求同思维”，是指在解决问题的过程中，尽可能利用已有的知识和经验，把众多的信息和解题的可能性逐步引导到条理化的逻辑序列中去，最终得出一个合乎逻辑规范的结论。收敛思维也是创新思维的一种形式，与发散思维不同，发散思维是为了解决某个问题，从这一问题出发，想的办法、途径越多越好，总是追求还有没有更多的办法。而收敛思维也是为了解决某一问题，在众多的现象、线索、信息中，向着问题一个方向思考，根据已有的经验、知识或发散思维中针对问题的最好办法去得出最好的结论和最好的解决办法。
收敛思维训练是重要的，每个学生都应受到良好的收敛思维训练。在学生进入小学、中学后，实际进行收敛思维训练的时间也特别多，这对于儿童思维的健康化是完全必要的。这种训练常常是与逻辑分不开的，在我国很少有中小学开设逻辑学课程，他们的主要逻辑训练来自各个学科，与各学科结合，尤其与数学结合。数学训练是思维的“体操”。数学各科都有逻辑训练，其中又以几何学科最具典型性，它的基本任务是训练学生的演绎推理(这是一种论证推理)。逻辑训练又是典型的收敛性思维训练。
学习逻辑方法，掌握逻辑规则(不一定要有很专门的逻辑知识)，不仅对于数学学习是重要的，对于一般人，对于其它知识的学习，对于学习与理解，对于交流与
表达，都是重要的。逻辑上的混乱会使上述这一切受阻。基本的形式逻辑规则尚不懂得应当遵守，去谈什么辨证思维，只会误入歧途。“在一定条件下，坏事可以变成好事”，这是一种辨证思维。丢掉“在一定条件下”去讲“坏事可以变成好事”，这就有点问题了。干脆就说“坏事就是好事”，这是瞎说，连基本的形式逻辑都违反了，这与辨证逻辑毫不相干。“在一定条件下，几何问题可以变成代数问题”，这个“在一定条件下”也不能丢，更不能在强调两者的某种统一的事物需要弄明白，这种对立统一关系，必须建立在对有关概念与命题准确了解的基础上，建立在相当的收敛思维训练基础上。比如说，加法与减法在某种条件下统一于代数和，乘法与除法在某种条件下都归结为乘法，以及直线与曲线的某种联系，连续与离散的某种联系，等等。
逻辑是青少年思维发展中的保健品，逻辑的普遍适用性正是进行迁移所需的，是发散过程中所需的。因为发散思维的“果实”还不是成熟的，需要收敛思维去加工。青少年时期是相对易于发散的年龄，也正需要他们同时懂得发散的东西随时要伴之以收敛。这样，不仅“果实”会成熟，思维发展也会渐渐成熟起来。
在基础教育阶段，收敛思维训练，一则是大量的，二则是严格的，三则是权威的。大量的时间用于收敛思维训练是正常的。儿童思维的“天性”是发散的，收敛是需要后天训练的(当然，这不是说思维发散不需要给以注意，不需要发展，不需要训练，不是这样的)。
学生在学习期间要吸收的数学知识主要是围绕教科书内容的。我们又要提到几何，一本《几何》教本，基本概念和基本命题寥寥数个，其余的大量命题(或以“性质”，或以“定理”，或以“习题”的形式出现)都属于演绎工作，就思维训练来说，明显地属于收敛性质。
收敛思维训练是严格的。我国广大数学教师一般都十分重视学生的这种训练，就推理而言。一般教师都十分忌讳“循环论证”、命题混淆、理由不充足等逻辑错
误。因此注意力较多集中在严谨性上，集中在正确论证上。数学教科书的编写与审定要求也十分严格。
教师、教材要求的严格，逻辑上的严谨，结论似显出来的无可争议性，常常在学生心目中形成一种权威。这种权威有利于学生的收敛性思维训练。
然而，同时必须明确的是，收敛思维训练与发散思维训练应协同进行。一定的权威是有利的，权威主义是有害的，后者尤应注意。
每个人的思维事实上都是既有收敛，又有发散的。幼儿时期或许是个例外。一般青少年，乃至成人，差别在于两种思维分别受到的训练如何，两者是否协调。收敛思维的强训练在学校，然而，更好的学校(或教师)是在进行这种强训练的同时保护和发展学生的发散思维。收敛思维的训练，在学前也可能有，只是比较微弱。良好的家庭环境，父母较好的文化素养，再加之以较好条件的幼儿教育，儿童的收敛思维就可能有一定的发展，但这时的收敛是比较有限的。
在日常生活中，一般人的思维较多地处在发散状态，且有意的加以利用的情形不多。在接受课堂教育时，较多地处于收敛状态，而对发散性思维一般注意得较少，尤其是数学课。在强调全面发展，全面学好各科课程，并注意学习内容综合性质的学校里，学生收敛思维和发散思维协同训练的情况会好些。例如，人文课程，其中尤以艺术课程、文学课程，是比较有利于发展学生发散性思维的，数理化的学习与人文课程的学习都应受到重视，在基础教育阶段尤其不能偏废，这才有利于思维协调发展。数学本身不是人文科学，但它的形成、发展过程中，总伴随着人文精神，数学教学若能有效地将这种精神揭示在学生面前是大有益处的。所以数学教师熟悉数学史、尤其是数学思想史是十分有意义的。
不仅收敛和发散这两种性质不同的思维在一般人身上都存在，而且，在思维发展中，两者是交替进行的、相互作用的。一个人在已获得的信息的基础上进行加工，若能超越现有信息而得到新的信息，往往是必须经历发散思维的。在几何的学
习中，在代数的学习中，若已给出了假设(或已知)，又给出了待证的结论，那么，这时的训练基本上是收敛性质的，有一定的思维指向，又需沿着一定的逻辑发展，且在这种情况下所学得的主要是证明方法和增强论证能力，并未获得新的结论和原理。若只给出已知条件，不给出任何结论，而让学生去推测可能的结论且随后去推证自己揣测的结论，那么，那个推测过程是发散思维最能发挥作用的，这种作用发挥得越好，各种可能的推测就越有机会闪现出来，而随后的推证则又具有收敛的特征。通过发散思维所获得的“新的信息”是否真理还不一定，所以发散思维的主要作用在于“萌发真理”，是否确为真理尚需论证，这一步则往往是收敛思维所为。在论证的过程中亦非绝对收敛的，特别是相对困难或比较复杂的证明过程，有时需要奇特的技巧，需要设计新的辅助命题或其它工具，需要在论证的主线外开辟新的支流，这些环节又离不开发散思维。待到在收敛和发散思维配合下确立了真理之后，再开拓出去，继续扩展信息，又需要收敛思维与发散思维的继续配合。收敛思维与发散思维良好的协同，这种思维可以被形象地称为既健康又活泼的。这样所学得的就不仅是论证方法，还包括了结论的探求。
在中小学阶段，为了加强学生的收敛性思维训练又同时使之与发散性思维协调发展，我们可以做些什么呢,以下几个关系的正确处理是我们要做的事情的一个方面。
一、 原理与假说
一本数学教科书，大体上是由原理构成的(公理、定理、公式、法则等)，基本上没有“假说”的地位。而在人的日常生活中是常常碰到“假说”，甚至自己提出“假说”的。“这件事是谁帮我做的而没有留下姓名呢,”要回答这个问题，第一步就是作假设，提出好几种可能，然后看哪一种假设成立的可能性大些，再后就对那些可能性较大的假设进一步寻求其成立的依据。至于在实际的科学活动中，更是“假说”先行的;即使在学习现存的知识、学习教科书的过程中，也需要有大量的
“假说”伴行才会学得更好。所以，面对满是原理的教科书，教师不能忘记了教学生“假说”，自己提出“假说”，也引导学生去提出“假说”。
二、论证推理与似真推理
所谓论证推理，即在某种理论体系下(原则上要求是在公理体系下)进行逻辑推理。似真推理(包括不完全归纳推理、类比推理、联想)，从理论上并未达到真理，然而，它在整个推理中的重要地位在于:它是导向创造的必经之路，因此是发展学生创造思维所不可缺少的。作为论证推理的结果是原理，作为似真推理的结果就是“假说”。教学中应注意原理
与“假说”的关系，同时也就进一步说明了论证推理与似真推理的关系值得注意，尤其不忽视似真推理。
三、学与问
“学问”作为一个完整的词是指知识、学识。
“学问”一词，若将其分解，就是既学又问，“学”是一般的学习，“问”则是一种特别的学习方式。还可作另一理解，“学”是谓语，“问”是宾语，“学问”即学习着提问，学会问问题。学着问不容易，学会问更不容易。许多有经验的教师都会发现，喜欢问、爱问、会问的学生往往是十分优秀的学生。同时，我们就可以说，会教学问、使学生喜欢问、让学生会问的教师是十分优秀的教师。数学教师中之优秀者更应是这一类会教问者。
问，大多是因为想到了新的因，或想到了新的果，或感到在某个地方、 某个“原子”尚不能与原有“原子”挂上钩。因此问问题，特别是多问问题，思维发散开来的可能性增大。所以尊重和鼓励学生提问是教师应有的基本素养之一，数学教学中的权威性较高，教师的这种基本素养尤为重要，不要因权威而压抑了学生的好问心理。教师在课堂有意设疑，对于形成学生生疑极有好处，而能引起学生生疑的环境是最便于发展学生发散思维的。