中间结论在解题中的应用
一．抛物线
1.抛物线y=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，A（x1,y1）、B(x2,y2)，则有如下结论： （1）AB＝x1+x2+p；
2p（2）y1y2=－p，x1x2=； 42
2
（3）
112??； |AF||BF|p（4）以AB为直径的圆与准线相切；
（5）以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
p22p（6）若AB的倾斜角为?，则AB?；S?AOB?； 2sin?2sin?2.抛物线y=2px(p>0)内接直角三角形OAB（OA⊥OB）的性质： （1）x1x2?4P,y1y2??4P； （2）lAB恒过定点(2p,0)；
222?x?2pt23.抛物线的参数方程：y?2px(p?0)，则?（t为参数）.
?y?2pt2
1.【2012重庆理14】过抛物线y?2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，若AB?2525,AF?BF,则AF= . 【答案】
612ì25??m+n=??12???55112?m?m?设AF=m,BF=n, 则有í+= 解得或(舍)
?64mnP???p=1?????
2【解析】抛物线y?2x的焦点坐标为(,0)，准线方程为x??121，设A,B的坐标分别为的211p21?，设AF?m,BF?n，则x1?m?,x2?n?，所以有(x1,y1),(x2,y2)，则x1x2?2244111?(m?)(n?)???224，解得m?5或n?5，所以AF?5. ?646?m?n?25?12?
22.【2012安徽文14】过抛物线y?4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点，若|AF|?3，则
|BF|=______。
1
【答案】
3 2【解析】设?AFx??(0????)及BF?m；则点A到准线l:x??1的距离为3， 得：3?2?3cos??cos??123?。 又m?2?mcos(???)?m?31?cos?2方法一:在用统一的极坐标方程
方法二：小题大做，求得A点坐标得直线AF的方程，从而求坐标而得之；
方法三：用中间结论1?1?2，其中m,n是焦点弦被焦点所分得的两线段长，p就是焦准距。
nmp3. (2014新课标II理).设F为抛物线C:y2?3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ） A.
3393 B. C. 63 D. 9
83244
法二：利用S?AOB【答案】 D
p2?2sin?
设点A、B分别在第一和第四象限，AF=2m,BF=2n，则由抛物线的定义和直角三角形知识可得，33332m=2?+3m,2n=2?-3n，解得m=(2+3),n=(2-3),∴m+n=6.4422139∴SΔOAB=??(m+n)=.故选D.2444.(13课标二卷理11) 设抛物线C：y2 =2px ( p > 0)的焦点为F，点M在C上，| MF |=5，若以MF为直径的圆过点(0, 2)，则C的方程为 （A）y2 = 4x或y2 = 8x （C）y2 = 4x或y2 = 16x 答案：C
（B）y2 = 2x或y2 = 8x （D）y2 = 2x或y2 = 16x
x0py0x0pp
【解】设M(x0, y0)，由| MF |=5 ? x0 + 2 = 5 ? x0 = 5 ? 2 圆心N(2 + 4 , 2 )到y轴的距离| NK | = 2
p1
+ 4 = 2 | MF |，则圆N与y轴相切，切点即为K(0, 2)，且NK与y轴垂直? y0 = 4 p
?2p(5 ? 2 ) = 16 ? p = 2或8 .
2
二、焦三角形面积公式
x2y2椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦
ab?2点三角形的面积为(1) S?F1PF2?btan.
2x2y2设P点是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，则
abb2S?PF1F2?.
?tan2
练习题：
221.（2010全国卷1文数）（8）已知F1、F2为双曲线C:x?y?1的左、右焦点，点P在C上，
PF2=600，则|PF1|?∠F|PF2|?1
（ B ）
(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8 【解析2】由焦点三角形面积公式得：
S?F1PF2600113 ?bcot?1cot?3?PF1PF2sin600?PF1PF2222222?2|PF1|?|PF2|?4
【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以
有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】.由余弦定理得
|PF1|2?|PF2|2?|F1F2|2cos∠F 1PF2=
2|PF1||PF2|?cos600PF??1?PF2?2?2PF1PF2?F1F222PF1PF212?2PF1PF2?22??22PF1PF22??2
|PF1|?|PF2|?4
【解析2】由焦点三角形面积公式得：
S?F1PF2600113 ?bcot?1cot?3?PF1PF2sin600?PF1PF2222222?2|PF1|?|PF2|?4
法三：：
2b2|PF1||PF2|?1?cos?x2y22.(2009年上海理9)已知F1、F2是椭圆C:2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，
ab3
且PF1F2的面积为9，则b=____________.1?PF2.若?PF w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
?|PF1|?|PF2|?2a?【答案】3【解析】依题意，有?|PF1|?|PF2|?18，可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3。
?222?|PF1|?|PF2|?4c方法二:利用中间结论口算.
x2y2?F1PF2??1的焦点为F1,F2，3、（09京文13）椭圆点P在椭圆上，若|PF1|?4，则|PF2|? ；92的大小为 .
2,12?0第二问：徐晨然的方法：用的中间结论要优于余弦定理
2b2|PF1||PF2|? ,∵|PF1|?4,|PF2|?2，∴代入求解非常方便，这是自己所没有想到的！
1+cos?第二问宋子霖
1?S??F1PF2=|PF1||PF2|sin??b2tan
221????4?2sin??2tan?2sin??tan222?1?cos???1200
2230° 三．通径
?cos2?2?1 4x2y2x2y22b2
椭圆2?2?1 (a＞b＞0) 与双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的通径都是, 抛物线的为2p
aabab1. 2011全国新课标理7．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B
两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )
A．2
B．3 C．2
D．3
2b2
直线过右焦点F，且垂直于x轴交双曲线于A，B两点，则|AB|＝＝4a，所以b2＝2a2，所以双曲线
a
b2的离心率e＝1＋2＝3.
a
x2y2
B 【解析】 设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，
ab
bx2y2x与双曲线2?2?1(a?0,b?0) 左支的交点，F1是左焦点，2.【2012重庆文14】设P为直线y?3aabPF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e? 4