第一章
1细杆绕端点O在平面内匀角速旋转，角速度为?，杆上套一小环相对杆做匀速运动，相对速度为?。设小环可视为质点，且t?0时小环位于端点O。试求小环任意时刻的速度和加速度。
解：
??r??tr?? ， 或 ??????t速度
ω ? O θ r ???r?drdt，即 ??????r?则小环的合速度
??r?? ?????t??22V??r2?????2????t???1??2t2 加速度
2?d2r?d??2?ar?2?r???????????t?dt?dt? ?2d?drd??a?r?2?2???2?dtdtdt?则小环的合加速度
2a?ar2?a????4??2t2
2 宽L的河流，流速与离岸的距离成正比，两岸处流速为0，河中心处流速为?0。今有一小船以恒定的相对速度?r垂直于河流从此岸驶向彼岸。在离岸0.25L处因故突然调头，以相对速度0.5?r垂直于河流驶回原岸。试求小船的运动轨迹和返回点与出发点的距离。
解：水流速度沿x方向，可写成
?小船相对水的速度 ?r??rj
??2??u?0yi
L?dx2?0?y???dt?2?0?L小船相对岸的速度 ?? yi??rj， 或 ?dyL???r??dt消去dt，得
dx2?0?y dyL?rL4?2积分得 x?0y
L?r即
y x x1 x?0L?x?1?16?r? ??y?L1??4返程
O 4?0dx???ydy?L?rx1L4x?x1??xy
或
2?022?0Ly? L?r16?r2?3?Lx??0y2?0
L?r16?r
得
3?0L?x??216?r ??y?0?0
33 质点以初速度?0做直线运动，加速度a??k?，其中常数k?0。求该质点运动速度随
位置的变化关系。
d?d?dxd???k?3 ???k?3 ??k?2 dtdxdtdx?xd?11d???kdx??kdx???kx 22????0???00?0??
kx?0?1第二章
1 在固定的圆柱体上饶有绳索，绳两端挂大小两桶，如题图2.5，质量分别为M=1000kg
和m=10kg，绳河圆柱体之间的摩擦系数??0.050，绳的质量可以忽略。试问欲使两桶静止不动，绳之少需绕多少圈。 解：参见示力图
d?T?dT?Tsin?dN ??????2d?T?dT?Tcos??dN ??????2M m 题图2.5
即
?2T?dT?sind??dN 2d?dTcos??dN
2d??1 2近似
sin得
d?Td??dT?dN
2dT??dN
d?d??,22cosT+dT d? 2dN 忽略高阶无穷小量，得
Td??dN dT??dN
d? ? d? 2T 则
dT??d? T积分
Tmg?dT?T???d?
0m 得
T?mg?e??
由题意
Mg?mg?e??2n?
式中n是圈数。
n?12??lnMln100??14.7 m0.1?至少绕15圈。
2 质量为m线轴大小半径分别为R和r，对质心轴的转动惯量为I，线轴置于水平桌面上，
其摩擦系数为?。今以力F拉轴上绕线的一端，拉力方向与水平面夹角为?，如题图2.9。试讨论线轴的运动情况。 解：参见示力图
按质心运动定律
N?Fsin??mg?0 (2.9.1) Fcos??f?mac (2.9.3)
r F? 对质心轴按转动定律
fR?Fr?I? (2.9.3)
R ? 摩擦力
f??N (2.9.4)
题图2.9
解得
ac??1m???mg?F??sin??cos???? N ??RI???mg?F??sin??rR??? F? N?mg?Fsin?
? f???mg?Fsin??
f 几种不同运动情况： mg 一． 静止
当 Fcos????mg?Fsin??
f?Fcos?
且 Fr?fR 线轴静止，既不平动，也不转动，此时有
cos??rR 二． 匀速直线运动 当 Fcos????mg?Fsi?n? 且
Fr???mg?sFin?? R线轴可做匀速直线运动，此时也有
cos??rR 三． 纯滚动
由方程式(2.9.1)、(2.9.2)和(2.9.3)和纯滚动条件
ac?R? 可解得
aRcos??r?c?R?I?mR2F
??Rcos??rI?mR2F
f?mRr?Icos?I?mR2F
N?mg?Fsin?
讨论：
(2.9.5)
⑴ 必须满足N?0，即mg?Fsin?；
⑵ 因此可得f?0，即摩擦力的方向确定如图向左； ⑶ 当cos?? 当cos??r时，ac?0，??0， Rr时，ac?0，??0； R⑷ 纯滚动的条件是摩擦系数足够大，即
f??N
即
mRr?Icos?F???mg?Fsin??
I?mR2则 ???mRr?Icos??F ?I?mR2??mg?Fsin??即最小摩擦系数 ?0?四． 滚动和滑动
?mRr?Icos??F
?I?mR2??mg?Fsin??当???0时，既滚动又滑动，方程即为式(2.9.1)至(2.9.4)，
ac?0
当 sin??mg?r时，
F?R当 sin??mg?r时， F?R
o3 在倾角??30的斜面上，质量m1?8kg、半径r?5cm的圆柱体磙子的转轴经轻绳与
??0 ??0
（顺时针） （逆时针）
质量m2?4kg的木块相连，如题图2.13所示。已知斜面的摩擦系数??0.2，轴承处的摩擦力可以忽略。试求圆柱体磙子的加速度a，讨论加速度a、张力T和圆柱体磙子所受摩擦力f随斜面倾角?的变化。 解：对圆柱体磙子
m1gsin???m1gcos??T?m1a
?m1grcos??m1r2?
对木块
12m2 ? m1 r ? m2gsin???m2gcos??T?m2a
纯滚动时 a?r? 解得
a?讨论：
题图2.13
22gsin???9.8?sin30o?3.27m?s-2 33