12m?3M cos???318m取
1?3M113M 或 cos???1?1?cos???1?3?2m332m?讨论：上式中只取正号，且1?3M2m?0，即M?2m3
??? ?第五章
1 质量为m的陀螺绕对称轴高速旋转，角速度为?，对转轴的转动惯量为I，质心到转轴
下端的距离为lC，在重力矩作用下，陀螺将绕竖直轴作缓慢进动，参见题图4.17。试求进动角速度的近似值。
若轴下端与桌面是面接触，并受摩擦力作用。试解释在摩擦力作用下，转轴将产生趋向于竖直轴的附加运动，并估算从倾斜?角到竖直位置所需的时间。
解：(1) 如图，受重力矩
设dt时间内，角动量增量为dL，其大小
?M?mglcsin? dL?Lsin?d?
角动量定理
d? Mdt?dL
又三式可得
mglcsin?dt?Lsin?d?
则进动角速度
?dL ?L ??
C d?mglcmglc??dtLI?O
θ mg 题图4.17
(2) 参见下图，摩擦力和摩擦力矩如图所示，其大小
Mf??mglc
dL??Ld??Mfdt
即
?Ld???mglcdt
则进动角速度
??dM dL
?L ?dθ ?
C ?mglcd???dtI?向，并画出示意图。
解：炮弹自旋角速度?，外力
θ lc
f 2 炮弹飞行中自转角速度方向沿其对称轴指向后方，请推导出旋进（即进动）角速度的方
??质心至力心之矢径r，所以
?f，
?f 则进动角速度?L的方向如图所示。
????L?r?f??t ????r?L ?第六章
1 在重力作用下，某种液体在半径为R的竖直圆管中向下作定常层流。已知液体的密度为
?，测的管口处的体积流量为Q，试求
(1) (2)
液体的粘滞系数?； 圆管轴心线处的流速。
解：
(1) w??gh
p1, S1 p2, S2 Q?w?R2 8?hh ??(2) ??r???g8Q??R2
题图5.3
w?R2?r2? 4?h2?gQ?r2???r???1?2?
??R?2?gQ??0??
?2 如图所示，文丘里(Venturi)流量计的两种管径的截面积分别为S1和S2，流体的密度为?，
并由U形管液柱高度差h已计算出压强差为?p，试证明流体的体积流量
QV?S1S2证： p1?2?p
22??S1?S2?2??2??12?2?21212??1?p2???222?2?p?
?1S1??2S2?2S1??1S2?S12??122S22?2??12 ?22S1?S2?1?2?S1S2?2?2??122S12?S2?S1S2?2?p 22??S1?S2?QV??1S1??2S2?S1S22?p 22??S1?S2?3 如图所示，皮托（Pitot）管的U形管压差计测出的压强差?p体的密度为?，试证明气体的流速可近似为
?pA?pB。设被测气
??证：按伯努利方程
2?p? pB?12??B?pA 2A B 题图5.5
?B?近似
2?pA?pB??
??2?p? 4 一圆筒盛有密度?o?1.26g?cm-3的甘油，今由密度??2.56g?cm-3、直径d?6.0mm的小玻璃球在圆筒中自静止开始下落。如果测得小球的恒定速度??3.1cm?s，试计算甘油的粘滞系数。 解：
-1?d36????0?g?ff?6??r?
?0
d2??????0?g18???6.0?10?3?2?218?3.1?10?0.82?Pa?s??2.56?1.26??103?9.8
第七章
1斜放的直尺以速度V相对于惯性系K沿x方向运动，它的固有长度为l0。在与之共动的惯性系K?中它与x?轴的夹角为??。试证明：对于K系的观测者来说，其长度l和与x轴的夹角?分别为
l?l0??V22?1?2cos????sin??
c??tan?? tan??2V1?2c2证：惯性系K?中，?x??l0cos??，?y??l0sin??，K系中
V2V2?x??x?1?2?l01?2cos??，?y??y??l0sin??
cc2??22Vl???x????y??l0?1??sin2?? ?cos??c2???ytan?? tan???2?xV1?2c22