式中: P综为综合污染指数--综合反映各重金属对区域土壤的不同作用；P平均为所有单项污染指数的平均值；Pmax为土壤环境中各单项污染指数中的最大值。根据模型分别计算出该城区五个功能区的污染指数值，然后与内梅罗综合污染指数的分类标准（见表3）相比较得出五个功能区的污染程度。
表3 内梅罗综合污染指数的分类标准 1 2 3 4 5 P综 P综?0.7 污染等级 安全 警戒线 轻污染 中污染 重污染 表4 各功能区的污染程度 污染程度 清洁 尚清洁 超标 土壤、作物受中度污染 土壤、作物受严重污染 0.7?P综?1.0 1.0?P综?2.0 2.0?P综?3.0 P综?3.0由Matlab软件计算得 功能区 P综 生活区 工业区 山区 主干道路区 公园绿地区 2.0904 9.2769 土壤、作物受严重污染 0.8242 尚清洁 6.4625 土壤、作物受严重污染 1.8688 超标 污染土壤、作物受程度 中度污染 由表4可得污染程度排序为：工业区>主干道路区>生活区>公园绿地区>山区 5.2 问题二
5.2.1无量纲化处理
在利用SPSS统计软件数据进行聚类分析的时候，因为单位不统一需要进行无量纲化处理，我们采用均值化方法，即每一个变量除以该变量的平均值，即
xi??xi， (4) x标准化以后各变量的平均值都为1，标准差为原始变量的变异系数。该方法在消除量纲和数量级影响的同时，保留了各变量取值差异程度上的信息，差异程度越大的变量对综合分析的影响也越大。然后取其平均值进行对比。 5.2.2重金属污染的原因分析
对附件中所给数据进行分析，采用均值化方法无量纲化处理后，我们选取8种重金属元素的平均值，用EXCELL软件画出其相对含量的柱状图：
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图5 各功能区重金属元素无量纲化后数据比较2.5452731124876123130.5254566785824367111.5823456780生活区工业区山区交通区公园绿地As(1) Cd(2) Cr(3) Cu(4) Hg(5) Ni(6) Pb(7) Zn(8)
8种重金属元素经无量纲化处理之后可以相互比较，由柱状图可以看出：生活区中Cr含量最大,Zn,Pb含量次之；工业区中Cu，Hg含量较高，且其他重金属也相对较多；山区中Ni含量最大，Cr，As次之，且8种重金属含量都相对较少；交通区中各重金属含量都比较集中，Hg最多；公园绿地区中As含量较多，Pb,Cd含量次之。
我们还可以横向来比较8个元素在五个功能区中的相对含量：As、Cr、Ni在各功能区的含量相对均匀，而Cu、Hg在工业区中的含量与其它区差别明显；Cd、Zn、Pb、Cu、Hg在工业区中的含量和山区相比差异较大，说明它们受人类活动的影响相对明显。
重金属具有富集性，很难在环境中降解且Hg、Cd、Cr、Pb具有很强的生物毒性。由于工业生产产生大量废物，汽车尾气排放，汽车轮胎磨损产生大量含重金属的有害气体和粉尘，Cu 、Hg 、Zn主要在工业区和交通区如公路、铁路等交通设施的两侧富集，随时间的推移，工业区、交通区的土壤重金属具有很强的叠加性。Pb、Cd、As、Cr主要在生活区富集，生活区内由于含重金属的废弃物堆积，施用含Pb、Cd、As等的农药，不合理的施用化肥以及大量使用农用塑料薄膜都会造成重金属污染，综合风向等多种因素的影响可能会发生迁移且富集，从而造成公园绿地区的重金属污染。Ni元素在各个功能区中的分布相对均匀，山区分析的8种重金属中Ni含量最多，所以说工业区及生活区污染的富集和迁移，都有可能造成污染。同时城市人口密度，土地利用率，机动车密度也是造成重金属污染的原因。 5.3问题三
5.3.1 重金属污染物的传播特征
特征一：
我们利用无量纲化处理的数据，将各个样点的8种元素的无纲化浓度进行加权求和，则此加权和就可在一定程度上反映各个样本点的总的污染程度。并作出各样点浓度加权和对应其海拔高度的图形（见下图）。从整体上来看，污染程度随着海拔的增高而减小。海拔在0到50之间的样点污染程度普遍高，并且变化幅度很大。而海拔在50到100之
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间的样点污染程度较小，并且变化幅度很小。这说明，重金属污染物的传播速度受海拔影响很大。在海拔低的区域里，单位海拔高度内重金属污染物的传播速度较快；在海拔高的区域里，单位海拔高度内重金属污染物的传播速度很慢。
120100806040200050100150200250300350
特征二：
150100yuan50000.511.52图6 浓度随x值的变化趋势2.5x 1034150100yuan50000.20.40.60.811.21.4图7 浓度随y值的变化趋势1.61.8x 1024
我们再分别做出各样点浓度加权和与其对应x轴、y轴的图形（见图6和图7）可看出重金属在土壤中的浓度随采样点的水平和垂直距离的改变会出现相应的峰值，即污染
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源的位置在某个峰值点处，而且高浓度样点集中在(0.35~0.60，0.20~0.40)范围内，并且样点污染程度由此范围向四周呈递减趋势。由此，我们可以推知，重金属污染物由污染源位置向四周扩散，并且扩散速度随距污染源距离的增大而减小。 5.3.2无约束优化模型的建立
针对该问题我们建立无约束优化模型，假设319个采样点中有一个是主要的污染源，根据物质的一般扩散规律，我们认为重金属的污染程度与污染源到该点的距离有关，即距离越远污染程度越低，在这里我们定义一个新的变量： 污染距离积D
22D?m?x?i??x???y?i??y?, (5)
??即该点的污染程度与该点到污染源距离的平方之积，其中?x?i?,y?i??为给定采样点的坐标。该点的污染程度已知，只要使其他318个采样点的污染距离积D之和最小就能确定污染源，这里我们利用问题二经无量纲化之后的数据加权求得点的污染程度m。
利用Lingo软件求得第31个采样点的污染距离积D之和最小，即该点是最主要的污染源，其坐标?5567,6782?.
由于该区域的污染源不止一个，因此这种做法存在很大的误差，通过观察问题一的图形，及元素间的相关系数我们可以得出有多个地带的污染程度存在显著变化的结论，即存在多个污染源，因此我们建立了第二种模型来分析污染源的位置，希望通过两种方法对比得到该城区重金属的污染源。
5.3.3有衰减的扩散过程模型
（1）设u?x,y,z,h?是距离污染源位置的空间距离为h的点?x,y,z?处某种重金属元素的浓度。任取一个闭曲面S，它所围的区域是G，由于扩散，从h到h??h这段距离内，通过S流入G的质量为
M1??由高斯公式得
h??hh?2?u?2?u2?u??acos??bcos??ccos?????x?dsdt （6） ?y?z?S?22?2?2u2?u2?u??????a?x2?b?y2?c?z2??dxdydzdh （7）
?G?M1??h??hh其中，a2,b2,c2分别是沿x,y,z方向的扩散系数。
在扩散过程中由于土壤吸收、风及地表径流造成重金属流失等原因，使元素的质量
有一定的衰减，G内的质量减少为
M1??h??hh2k???udxdydzdt, （8） G其中k2是衰减系数。
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由物质不灭定律，重金属元素在G内由于扩散与衰减的合作用，积存于G内的质量为M1?M2
换一种角度看，G内由于浓度之变化引起的质量增加为
M3?????u?x,y,z,h??h??u?x,y,z,h??dxdydzG??h??hh?udxdydzdh????hG （9）
显然M3?M1?M2，即
?h??hhh??h?udxdydzdh?????h?tG22?2?2u2?u2?u2??a?b?c?ku?dxdydzdh （10） 22?????x2??y?z?G?由于?h,h,G的任意性得
222?u2?u2?u2?u2?a?b?c?ku （11） 222?h?x?y?z这就是重金浓度随空间距离相关的常系数性抛物型方程。
（2）设污染源的位置为A?x0,y0?，由此可求出各样点与A的距离，根据重金属污染物的传播特征，我们假定x，y，z方向的扩散系数分别为：0.5，0.4,0.3各样点的浓度
我们取无量纲化浓度的加权和。利用Matlab求解得A点坐标为：（8500,5500）。 5.3.4 Y?u0?be?c?l模型
由问题二的数据分析，元素的来源和传播途径以及元素间的相关性检验可得锌元素呈条带状分布，主要以公路、铁路为轴向两侧污染强度逐渐减弱，随着时间的推移，在交通区两侧的重金属污染具有很强的叠加性。由此我们建立以公路线为污染源的模型，设公路线的表达式为：
Ax?By?C?0 (12)
浓度随距离的变化为：
Y?u0?be?c?l （13）
其中?L?Ax0?By0?CA?B22为采样点到公路的距离；u为采样点的浓度；u0为样点重金属
元素的背景值,C为衰变指数。 针对模型Y?u0?be?c?l ，当
Y?limf(x)?a, (14)
x??13