其环境意义为在远离污染源的地方,没有受到污染的影响,土壤中某污染物的含量就是 背景值, a?0。
当
Y?limf(x)?a?b, (15)
x?0其环境意义为在污染源近处,土壤中某污染物的含量达到最高值,它就是在背景值的基 础上加污染值的结果,b?0。
当
dy??bce?c?l?0, (16) dx其环境意义为随着距污染源渐远,土壤中污染物的含量逐渐降低及其变化。
1800016000140001200010000y8000600040002000000.511.522.5图1 城市主干道路区取样点及拟合结果3x 104
5.4问题四 5.4.1问题分析
为了更好地研究城市地质环境的演变模式，需要做以下几个工作。首先我们需要求出空间中任意一点对应的污染物浓度与时间的关系表达式；然后再利用问题一中求解不同区域重金属的污染程度的模型对城市进行污染程度分析；最后对由统计得到的各个样点在多个时间内的污染程度进行分析，即可研究出城市地质环境的演变模式。因此，我们只需要求出空间中任意一点对应的污染物浓度与时间的关系表达式即可。
为了求出空间中任意一点对应的污染物浓度与时间的关系表达式，除了需要有本题中所给信息外，还应收集不同时间内的样点对应的基本信息（如附件中所给信息）以及各污染源重金属的产生率。 5.4.2模型的建立
（1）高斯浓度模型建立
本题假设污染物浓度符合正态分布，建立高斯浓度分布模型：
C?x,y,z??Q322??x?y?ze1??x?ut?2y2z2???2?22??x2?y?z????? （17）
其中C?x,y,z?是空间任意一点?x,y,z?的浓度；Q0是污染源重金属产生率；&x,&y,&z分别表示x，y，z方向上的扩散系数；u是土壤对重金属元素的吸收速率；D是干沉积量
14
（计算公式由文献[2]给出）。 （2）高斯模型的修正
因为干沉积和腐蚀是影响重金属元素在土壤中的衰减的重要因素，故引入其浓度随时间的变化关系：
C?C0?e?ut （18） 其中v是衰减系数
则某时刻下空间点?x,y,z?处的重金属浓度为：
C?x,y,z??Q?D322??x?y?ze1??x?ut?2y2z2???2?22??x2?y?z?????e?ut, （19）
六、模型检验和评价
6.1 模型检验
6.1.1 对元素相关性的回归检验
此处检验了四组元素之间的相关性，下面以其中的一组Cr和Ni为例说明检验方法。我们利用一元线性回归分析法对Cr和Ni的相关性进行检验：首先根据收集到的Cr(x)浓度和Ni(y)浓度的数据319组，看成是平面直角坐标系中的点?x?i?,y?i??,并画出“散点图”；接着，我们可以观察散点图上点的分布规律，这些点散布在一直线附近，但又不全在一条直线上，那么我们认为Cr和Ni相关性很强，反之，我们认为其相关性较弱或无相关性。检验结果见数据分析4.4。 6.1.2 对问题三中抛物型模型的稳定性分析
基于常微分方程中对稳定性的分析，我们得出：如果对任意给定的??0和h0?0都存在
???(?,h0)?0，
使得只要u0?u1??，就有
u?h,h0,u0????h,h0,u1???
经检验，（11）式对一切h?h0成立，所以说（11）式是稳定的，进而所得解是稳定的。 6.1.3 对问题三中模型Y?u0?be?c?l利用F分布检验
表5 模型 拟合公式 F 11.81 显著性 显著 Y?u0?be?c?l Y?34?25e?1.58?l 6.2 模型评价 6.2.1 优点
①首先对数据及元素间的相关性进行分析，处理，简化了计算
②所建立的模型与实际紧密联系，由一些利用简单的模型就能达到很好的效果，有很好
15
的通用性和推广性。
③对数据进行了无量纲化处理，使得避免了运用数据时单位不统一的麻烦。 ④运用Matlab和Lingo软件进行计算，可信度高。 ⑤论文中图形与数据相结合更具有说服力。 6.2.2 缺点
①在求点污染源时我们假设只有一个污染源，而实际上可能有多个点污染源，使得误差增大，或者使污染源的位置不准确。
②在求线污染源时用到的衰减系数具有不确定性，使得污染源的位置不准确。 ③在处理数据和求解过程中不可避免的出现各种误差，在一定也影响到模型求解的精确度。
七、模型推广
本模型的建立对于研究减少城市污染问题和保护环境具有重要意义，尤其在当今以高能耗高污染的生产模式为主的工业时代，该模型的建立对于研究城市规划，和工厂位置选择以及交通建设时具有重要的才能考价值，同时利用该模型也可以研究物质扩散现象的规律。
八、参考文献
[1] 韩中庚，数学建模方法及其应用[M]，北京：高等教育出版社，2005
[2] 韩中庚，数学建模竞赛——获奖论文精选与点评，北京：科学出版社，2007 [3] 盛骤，谢式千，概率论与数理统计，北京：高等教育出版社，2003 [4] 姜启源，数学模型（第二版），北京：高等教育出版社，1992 [5] 费业泰，误差理论与数据处理（第五版），北京：机械工业出版社，2004.6 [6] 韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005.6
[6] 谢金星，优化建模与LINDO/LINGO软件，北京：清华大学出版社，2005.7
九、附录
9.1 8种重金属元素空间分布 A= load('zuobiaonongdu.dat'); x=A(:,1);y=A(:,2);
[x,y]=meshgrid(0:1000:29000,100:300:19000); z3=griddata(A(:,1),A(:,2),A(:,3),x,y,'v4'); subplot(2,2,1)
[c,h] =contour(x,y,z3); clabel(c,h) ylabel('y');
xlabel('图1 城市土壤As的空间分布特征'); z4=griddata(A(:,1),A(:,2),A(:,4),x,y,'v4'); subplot(2,2,2)
[c,h] =contour(x,y,z4); clabel(c,h)
16
ylabel('y');
xlabel('图2 城市土壤Cd的空间分布特征')
z5=griddata(A(:,1),A(:,2),A(:,5),x,y,'v4'); subplot(2,2,3)
[c,h] =contour(x,y,z5); clabel(c,h) ylabel('y');
xlabel('图3 城市土壤Cr的空间分布特征')
z6=griddata(A(:,1),A(:,2),A(:,6),x,y,'v4'); subplot(2,2,4)
[c,h] =contour(x,y,z6); clabel(c,h) ylabel('y');
xlabel('图4 城市土壤Cu的空间分布特征') figure
z7=griddata(A(:,1),A(:,2),A(:,7),x,y,'v4'); subplot(2,2,1)
[c,h] =contour(x,y,z7); clabel(c,h) ylabel('y');
xlabel('图5 城市土壤Hg的空间分布特征')
z8=griddata(A(:,1),A(:,2),A(:,8),x,y,'v4'); subplot(2,2,2)
[c,h] =contour(x,y,z8); clabel(c,h) ylabel('y');
xlabel('图6 城市土壤Ni的空间分布特征')
z9=griddata(A(:,1),A(:,2),A(:,9),x,y,'v4'); subplot(2,2,3)
[c,h] =contour(x,y,z9); clabel(c,h) ylabel('y');
xlabel('图7 城市土壤Pb的空间分布特征')
z10=griddata(A(:,1),A(:,2),A(:,10),x,y,'v4'); subplot(2,2,4)
[c,h] =contour(x,y,z10); clabel(c,h) ylabel('y');
xlabel('图8 城市土壤Zn的空间分布特征') 9.2 回归分析检验元素相关性 Cr= load('Cr.dat'); Ni= load('Ni.dat'); Cd= load('Cd.dat'); Pb= load('Pb.dat');
17
Cu= load('Cu.dat'); Hg= load('Hg.dat'); As= load('As.dat'); Zn= load('Zn.dat'); subplot(2,2,1) scatter(Cr,Ni)
set(gca,'xlim',[0,2]); set(gca,'ylim',[0,2]); ylabel('Ni');
xlabel('图1 Cr与Ni'); subplot(2,2,2) scatter(Cd,Pb)
set(gca,'xlim',[0,1.5]); set(gca,'ylim',[0,1.5]); ylabel('Pb');
xlabel('图2 Cd与Pb'); subplot(2,2,3) scatter(Pb,Zn)
set(gca,'xlim',[0,2]); set(gca,'ylim',[0,2]); ylabel('Zn');
xlabel('图3 Pb与Zn'); subplot(2,2,4) scatter(Cr,Cu)
set(gca,'xlim',[0,2]); set(gca,'ylim',[0,2]); ylabel('Cu');
xlabel('图4 Cr与Cu');
9.3 五个功能区重金属的污染程度
ping=[3.6,130,31,13.2,35,12.3,31,69];%背景点的平均值； cha=[0.9,30,9,3.6,8,3.8,6,14];%背景点的标准差； bei=ping+2.*cha;%评价起始点； n=8;
sheng=[6.27,289.96,69.02,49.40,93.04,18.34,69.11,237.01]; gong=[7.25,393.11,53.41,127.54,642.36,19.81,93.04,277.93]; shan=[4.04,152.32,38.96,17.32,40.96,15.45,36.56,73.29]; lu=[5.71,360.01,58.05,62.21,446.82,17.62,63.53,242.85]; yuan=[6.26,280.54,43.64,30.19,114.99,15.29,60.71,154.24]; p1=sheng./bei;p1p=sum(p1)/n;p1m=max(p1); p1z=sqrt((p1p^2+p1m^2)/2)
p2=gong./bei;p2p=sum(p2)/n;p2m=max(p2); p2z=sqrt((p2p^2+p2m^2)/2)
p3=shan./bei;p3p=sum(p3)/n;p3m=max(p3); p3z=sqrt((p3p^2+p3m^2)/2)
18