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北师大版八年级下册数学
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
平移与旋转--知识讲解
【学习目标】
1.理解平移、旋转的基本概念，掌握平移、旋转的基本特征，并能利用平移与旋转的性质进行证明有关问题；
2.知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计；理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；
3.能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，并能利用旋转进行简单的图案设计.
【要点梳理】 要点一、平移
1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移． 要点诠释：
（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离． （2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置. 2. 性质：
图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：
（1）平移后，对应线段平行（或共线）且相等； （2）平移后，对应角相等；
（3）平移后，对应点所连线段平行（或共线）且相等； （4）平移后，新图形与原图形的形状与大小不变. 要点诠释：
（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．
(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的. 3. 作图：
平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连． (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出表示图形的关键点；
(3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；
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(4)连：按原图形顺次连接对应点． 要点二、旋转的概念
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AOA′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.
要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 要点三、旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； (3)旋转前、后的图形的形状与大小不变.
要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 要点四、旋转的作图
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 要点诠释：
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点.
【典型例题】 类型一、平移
1．如图所示，平移△ABC，使点A移动到点A′，画出平移后的△A′B′C′．
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【思路点拨】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离，连接AA′后这个问题便获得解决．根据平移后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在一条直线上)且相等，容易画出所求的线段． 【答案与解析】 解：如图所示，
（1）连接AA′，过点B作AA′的平行线l，在l上截取BB′＝AA′，则点B′就是点B的对应点． （2）用同样的方法做出点C的对应点C′，连接A′B′、B′C′、C′A′，
就得到平移后的三角形A′B′C′．
【总结升华】平移一个图形，首先要确定它移动的方向和距离．连接AA′，这个问题就解决了，然后分别把B、C按AA′的方向平移AA′的长度，便可得到其对应点B′、C′，这就是确定了关键点平移后的位置，依次连接A′B′，B′C′，C′A′便得到平移后的三角形A′B′C′．
2．（2016?东台市模拟）如图，将△ABC平移到△A′B′C′的位置（点B′在AC边上），若∠B=55°，∠C=100°，则∠AB′A′的度数为 ______．
【答案】25°
【解析】∵∠B=55°，∠C=100°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣55°﹣100°=25°，
∵△ABC平移得到△A′B′C′，∴AB∥A′B′，∴∠AB′A′=∠A=25°．
【总结升华】图形在平移的过程有“一变两不变”、“一变”是位置的变化，“两不变”是形状和大小不变．本例中由△ABC经过平移得到△A′B′C′．则有AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，∠A＝∠A′，∠C＝∠C， ∠B＝∠B′．
举一反三： 【变式】（2015?临淄区一模）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为 ．
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