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课时分层作业(十二) 抛物线的简单几何性质
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．方程y＝－2x所表示曲线的形状是( )
??y＝4xD [方程y＝－2x等价于?
??y<0
2
2
故选D.]
2．过抛物线C：y＝12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2
＝6，则|AB|＝( )
A．16 C．10
B．12 D．8
B [由题意知p＝6，故|AB|＝x1＋x2＋p＝12.]
3．过点(2,4)的直线与抛物线y＝8x只有一个公共点，这样的直线有( )
【导学号：97792106】
A．1条 C．3条
2
2
B．2条 D．4条
B [点(2,4)在抛物线y＝8x上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点，故选B.]
4．已知抛物线y＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( )
A．x＝1 C．x＝2
B．x＝－1 D．x＝－2
2
??B [易知抛物线的焦点为F?，0?，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为y＝x－，
2?2?
即x＝y＋，代入y＝2px得y＝2p?y＋?＝2py＋p，即y－2py－p＝0，由根与系数的关
2?2?系得
ppp22
?
p?222
y1＋y2
2
＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线的方程为y＝4x，准线方程
2
为x＝－1.]
5．设抛物线y＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如推荐学习K12资料
2
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果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝( )
A．43 C．83
B．8 D．16
B [设P(x0，y0)，则A(－2，y0)，又F(2,0) 所以＝－3，即y0＝43.
－2－2由y0＝8x0得8x0＝48，所以x0＝6. 从而|PF|＝6＋2＝8.] 二、填空题
6．直线y＝kx＋2与抛物线y＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
0或1 [当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y得kx＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)－16k＝0，∴k＝1.]
7．2017设抛物线y＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________________．
(x＋1)＋(y－3)＝1 [由y＝4x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1.
由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝3，所以点C的纵坐标为3.
所以圆的方程为(x＋1)＋(y－3)＝1.]
8．抛物线y＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________.
【导学号：97792107】
322
[设与直线x－y＋4＝0平行且与抛物线y＝4x相切的直线方程为x－y＋m＝0. 2
??x－y＋m＝0由?2
?y＝4x?
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
y0
2
得x＋(2m－4)x＋m＝0
2
22
则Δ＝(2m－4)－4m＝0，解得m＝1 即直线方程为x－y＋1＝0
直线x－y＋4＝0与直线x－y＋1＝0的距离为d＝4－11＋－
2
32
＝. 2
2
322
即抛物线y＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为.] 2三、解答题 推荐学习K12资料
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9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.
(1)求抛物线C的方程．
(2)若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，求k的值．
[解] (1)由题意设抛物线方程为y＝2px，其准线方程为x＝－，因为P(4，m)到焦点
2的距离等于P到其准线的距离，所以4＋＝6，所以p＝4，所以抛物线C的方程为y＝8x.
2
?y＝8x，?(2)由?
??y＝kx－2，
2
2
pp2
消去y，得kx－(4k＋8)x＋4＝0.
22
因为直线y＝kx－2与抛物线相交于不同的两点A，B，则有k≠0，Δ＝64(k＋1)>0， 解得k>－1且k≠0. 又
x1＋x22k＋4
＝2＝2， 2k解得k＝2或k＝－1(舍去)，所以k的值为2.
10．已知AB是抛物线y＝2px(p>0)的过焦点F的一条弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)．求证：
2p(1)若AB的倾斜角为θ，则|AB|＝2；
sinθ(2)x1x2＝，y1y2＝－p；
4112(3)＋为定值. |AF||BF|p【导学号：97792108】
[证明] (1)设直线AB的方程为x＝my＋，代入y＝2px，可得y－2pmy－p＝0，
2
2
p2
2
p222
y1y2＝－p2，y1＋y2＝2pm，
∴y1＋y2＝2p(x1＋x2)＝(y1＋y2)－2y1y2＝4pm＋2p，∴x1＋x2＝2pm＋p， 2p∴θ＝90°时，m＝0，x1＋x2＝p，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＝2；
sinθ
12p2p2pθ≠90°时，m＝，x1＋x2＝2＋p，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝2＋2p＝2.
tan θtanθtanθsinθ2p∴|AB|＝2.
sinθ
2
2
2
22
2
2
y1y2
(2)由(1)知，y1y2＝－p，∴x1x2＝24p2
2
＝； 4
p2
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