显然，方程组（8）就是方程组（3），故其解就是式（4）和式（5）。这表明，消费者在这种情况下对两商品的需求关系维持不变。
（3）由消费者的需求函数（4）和（5），可得
??pxx/M （9） ??pyy/M （10）
关系（9）的右边正是商品x的消费支出占消费者收入的份额。关系（10）的右边正是商品y的消费支出占消费者收入的份额。故结论被证实。
11.解答：(1)令肉肠的需求为X，面包卷的需求为Y，相应的价格为PX、PY，且有PX＝PY。 该题目的效用最大化问题可以写为max U(X，Y)＝min{X，Y} . PX·X＋PY·Y＝M
M
解上述方程组有X＝Y＝
PX＋PY
?－M2·PX??XPX
M? 由此可得肉肠的需求的价格弹性为edX＝－·＝－?(PX＋PY)
???PXX
PX＋PY??
PX
＝ PX＋PY
PX1
由于一根肉肠和一个面包卷的价格相等，所以，进一步有edX＝＝ PX＋PY2
?YPXMPX
(2)面包卷对肉肠的需求的交叉弹性为eYX＝·＝－ 2·?PXY(PX＋PY)M
PX＋PY
PX
＝－ PX＋PY
PX1
由于一根肉肠和一个面包卷的价格相等，所以，进一步有eYX＝－＝－ PX＋PY2
(3)如果PX＝2PY，则根据上面(1)、(2)的结果，可得肉肠的需求的价格弹性为
?XPXPX2
edX＝－·＝＝
?PXXPX＋PY3
?YPXPX2
面包卷对肉肠的需求的交叉弹性为eYX＝·＝－＝－
?PXYPX＋PY3
12. 解答：利用图3—7解答此题。在图3—7中，当P1＝4，P2＝2时，消费者的预算线为AB，效用最大化的均衡点为a。当P1＝2，P2＝2时，消费者的预算线为AB′，效用最大化的均衡点为b。
图3—7
(1)先考虑均衡点a。根据效用最大化的均衡条件MRS12＝P1/P2，其中，MRS12＝MU1/MU2＝X2/X1，P1/P2＝4/2＝2，于是有X2/X1＝2，X1＝(1/2) X2。将X1＝ (1/2) X2代入预算约束等式4X1＋2X2＝80，有4· (1/2) X2＋2X2＝80
解得 X2＝20 进一步得 X1＝10
则最优效用水平为U1＝X1X2＝10×20＝200 再考虑均衡点b。当商品1的价格下降为P1＝2时，与上面同理，根据效用最大化的均衡条件MRS12＝P1/P2，有X2/X1＝2/2，X1＝X2。将X1＝X2代入预算约束等式2X1＋2X2＝80，解得X1＝20，X2＝20。
从a点到b点商品1的数量变化为ΔX1＝20－10＝10，这就是P1变化引起的商品1消费量变化的总效应。
(2)为了分析替代效应，作一条平行于预算线AB′且相切于无差异曲线U1的补偿预算线FG，切点为c点。
在均衡点c，根据MRS12＝P1/P2的均衡条件，有X2/X1＝2/2，X1＝X2。将X1＝X2代入效用约束等式U1＝X1X2
＝200，解得X1＝14，X2＝14(保留整数)。
从a点到c点的商品1的数量变化为ΔX1＝14－10＝4，这就是P1变化引起的商品1消费量变化的替代效应。
(3)至此可得，从c点到b点的商品1的数量变化为ΔX1＝20－14＝6，这就是P1变化引起的商品1消费量变化的收入效应。当然，由于总效应＝替代效应＋收入效应，故收入效应也可由总效应ΔX1＝10减去替代效应ΔX1＝4得到，仍为6。
13.解答：该风险回避的消费者不会参与这场赌博。因为如果该消费者不参与这场赌博，那么，在无风险条件下，他可拥有一笔确定的货币财富量元，其数额刚好等于风险条件下的财富量的期望值10 000×5%＋10×95%＝元。由于他是一个风险回避者，所以在他看来，作为无风险条件下的一笔确定收入元的效用水平，一定大于风险条件下这场赌博所带来的期望效用。
14.解答：要点如下：
(1)基数效用论者提出的商品的边际效用递减规律是其推导需求曲线的基础。他们指出，在其他条件不变的前提下，随着消费者对某商品消费数量的连续增加，该商品的边际效用是递减的，所以，消费者对每增加一单位商品所愿意支付的最高价格(即需求价格)也是递减的，即消费者对该商品的需求曲线是向右下方倾斜的。
(2)在只考虑一种商品的前提下，消费者实现效用最大化的均衡条件是MU/P=?。由此均衡条件出发，可以计算出需求价格，并推导与理解(1)中的消费者的向右下方倾斜的需求曲线。
15.解答：要点如下：
(1)本题涉及的两个基本分析工具是无差异曲线和预算线。无差异曲线是用来表示消费者偏好相同的两种商品的全部组合的，其斜率的绝对值可以用商品的边际替代率MRS来表示。预算线表示在消费者收入和商品价格给定的条件下，消费者全部收入所能购买到的两种商品的全部组合，其斜率为－P1/P2。
(2)消费者效用最大化的均衡点发生在一条给定的预算线与无数条无差异曲线中的一条相切的切点上，于是，消费者效用最大化的均衡条件为：MRS12＝P1/P2，或者MU1/P1＝MU2/P2。
(3)在(2)的基础上进行比较静态分析，即令一种商品的价格发生变化，便可以得到该商品的价格—消费曲线。价格—消费曲线是在其他条件不变的前提下，与某一种商品的不同价格水平相联系的消费者效用最大化的均衡点的轨迹。如图3—8(a)所示。
图3—8
(4)在(3)的基础上，将一种商品的不同价格水平和相应的最优消费量即需求量之间的一一对应关系描绘在同一坐标平面上，就可以得到需求曲线，如图3—8(b)所示。显然有：需求曲线一般斜率为负，表示商品的价格和需求量成反方向变化；而且，在需求曲线上与每一价格水平相对应的需求量都是可以在该价格水平给消费者带来最大效用的最优消费数量。
16.解答：要点如下：
(1)当一种商品的价格发生变化时所引起的该商品需求量的变化可以分解为两个部分，它们分别是替代效应和收入效应。替代效应是指仅考虑商品相对价格变化所导致的该商品需求量的变化，而不考虑实际收入水平(即效用水平)变化对需求量的影响。收入效应则相反，它仅考虑实际收入水平(即效用水平)变化导致的该商品需求量的变化，而不考虑相对价格变化对需求量的影响。
(2)无论是分析正常物品还是低档物品，甚至吉芬物品的替代效应和收入效应，都需要运用的一个重要分析工具即补偿预算线。在图3—9中，以正常物品的情况为例加以说明。图3—9中，初始的消费者效用最大化的均衡点为a点，相应的正常物品(即商品1)的需求为x11。价格P1下降以后的效用最大化的均衡点为b点，相应的需求量为x12。即P1下降的总效应为x11x12，且为增加量，故有总效应与价格成反方向变化。
图3—9
然后，作一条平行于预算线AB′且与原有的无差异曲线U1相切的补偿预算线FG(以虚线表示)，相应的效用最大化的均衡点为c点，而且注意，此时b点的位置一定处于c点的右边。于是，根据(1)中的阐述，则可以得到：给定的代表原有效用水平的无差异曲线U1与代表P1变化前后的不同相对价格的(即斜率不同的)预算线AB、FG分别相切的a、c两点，表示的是替代效应，即替代效应为x11x13，且为增加量，故有替代效应与价格成反方向变化；代表不同效用水平的无差异曲线U1和U2分别与两条代表相同相对价格的(即斜率相同的)预算线FG、AB′相切的c、b两点，表示的是收入效应，即收入效应为x13x12，且为增加量，故有收入效应与价格成反方向变化。
最后，由于正常物品的替代效应和收入效应都分别与价格成反方向变化，所以，正常物品的总效应与价格一定成反方向变化，由此可知，正常物品的需求曲线是向右下方倾斜的。
(3)关于低档物品和吉芬物品。在此略去关于这两类商品的具体的图示分析。需要指出的要点是，这两类商品的替代效应都与价格成反方向变化，而收入效应都与价格成同方向变化，其中，大多数低档物品的替代效应大于收入效应，而低档物品中的特殊商品吉芬物品的收入效应大于替代效应。于是，大多数低档物品的总效应与价格成反方向变化，相应的需求曲线向右下方倾斜，低档物品中少数的特殊商品即吉芬物品的总效应与价格成同方向的变化，相应的需求曲线向右上方倾斜。
(4)基于(3)的分析，所以，在读者自己利用与图3—9相似的图形来分析低档物品和吉芬物品的替代效应和收入效应时，在一般的低档物品的情况下，一定要使b点落在a、c两点之间，而在吉芬物品的情况下，则一定要使b点落在a点的左边。唯有如此作图，才符合(3)中理论分析的要求。
第四章 生产论
1. 可变要素的数量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 可变要素的总产量 2 12 24 48 60 66 70 70 63 可变要素平均产量 2 6 8 12 12 11 10 35/4 7 可变要素的边际产量 2 10 12 24 12 6 4 0 -7
（2）是的。因为边际产量表现出的先上升而最终下降的特征。
从第4单位增加到第5单位的可变要素投入量开始的。 2、
L B ′
C′ A′ L ″ 图4—3 一种可变生产要素的生产函数的产量曲线（二）
（1）.过TPL曲线任何一点的切线的斜率就是相应的MPL的值。
（2）连接TPL曲线上热和一点和坐标原点的线段的斜率，就是相应的APL的值。 （3）当MPL>APL时，APL曲线是上升的。
当MPL 2 3、（1）.劳动的总产量 TPL函数=20L-o.5L-50 劳动的平均产量APL函数=TPL/L=20-0.5L-50/L 劳动的边际产量MPL函数=dTPL/dL=20-L (2)当MPL=0时，TPL达到最大.L=20 当MPL=APL时，APL达到最大.L=10 Q D C TP 第 第第三阶B A O ADAP′ L 当L=0时，MPL达到最大. (3)由（2）可知，当L=10时，MPL=TPL=10 4、 5、（1）生产函数表示该函数是一个固定投入比例的生产函数，所以，厂商进行生产时，Q=2L=3K.相应的有 L=18,K=12 （2）由Q=2L=3K,且Q=480，可得： L=240,K=160 又因为PL=2,PK=5，所以 C=2*240+5*160=1280 即最小成本。 6、设劳动价为W.资本价格为r,成本支出为C C=WL+rK 在扩展线取一点，设为等成本线与等量线的切线. MPL/MPK=W/r 2 (1).2L=W/r L=W/r L=W/r =3L 2/31/33 (2).=5KL,K=2L. K== 1/31/3 =L=1000. =5·2，L=10·2 =1000,L=1000/3. 1/31/3 7、(1).Q=ALK 1/31/31/31/3 F( λl，λk )=A（λl）（λK）=λALK=λf(L,K) 所以，此生产函数属于规模报酬不变的生产函数。 （2）假定在短期生产中，资本投入量不变，以k表示；而劳动 投入量可变，以L表示。 1/31/3 对于生产函数Q=ALK，有： MPL=1/3AL -2/31/3 K，且d MPL/dL=-2/9 AL -5/3 k-2/3 <0 这表明：在短期资本投入量不变的前提下，随着一种可变要素劳动投入量的增加，劳动的边际产量是递减的。 相类似的，在短期劳动投入量不变的前提下，随着一种可变要素资本投入量的增加，资本的边际产量是递减 的。 8、(1).由题意可知，C=2L+K, 2/31/3Q=LK 为了实现最大产量：MPL/MPK=W/r=2. 当C=3000时，得.L=K=1000. Q=1000. 2/31/ (2).同理可得。800=LKL=2 L=K=800 C=2400 9、 10、（1）思路：先求出劳动的边际产量与资本的边际产量 根据最优要素组合的均衡条件，整理即可得。 1/2 K=(2PL/PK)L K=( PL/PK)*L K=(PL/2PK)L K=3L （2）思路：把PL=1,PK=1,Q=1000，代人扩展线方程与生产函数即可求出 -1/3 -1/3 （a）L=200*4K=400*4 1/31/3 (b) L=2000 K=2000 (c) L=10*2 K=5*2 (d) L=1000/3 K=1000 1/31/311.(1).Q=ALK 1/31/31/31/3 F( λl，λk )=A（λl）（λK）=λALK=λf(L,K) 所以，此生产函数属于规模报酬不变的生产函数。