2010年湖南文理学院大学生数学建模竞
赛
(承诺书)
选择题号：
A题
高速公路 投票问题 √ B题 （在方格内打√）
我们承诺：
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
学校名称： 所属院系： 学生姓名： 联系电话：
指导教师： 签名：
B题：投票问题
摘 要
在各类推优评先中，投票选举一直是重要的方法，投票的公正性与与合理性将对投票结果产生影响。本文通过对已知案例进行分析与解答，根据相关的数学建模知识，解决了题目要求的实际问题。
首先就题目给出的条件进行分析得出一系列推论，根据已知条件、推论和基本假设，就材料中各问题进行分析。
针对问题一、二，求得理论上各单位候选人得数之和，作出判断。 针对问题三，通过分类讨论的方法，求得得数的期望值。
针对问题四，首先提出公正合理性判断方法，笔者认为，在假定候选人条件相同的情况下，候选人的理论得分或者得票数如果相同，那么该评选方案是公正的，因此取各候选人得分或者得票数的标准偏差σ，建立公正度k?1?100%的函数，通过此
ln(e??)函数描述该方案的公正性。
在比较问题一、二、三后，得出公正性k受到倾向性与各单位候选人人数这两个因素的影响，本文提出了消除倾向性影响方案与减候选人人数影响方案，通过两种途径提高k值，然后比较两种方案优劣性，提出改进方案，综合了两种方案，消除弊端。
关键词：投票问题 标准偏差 公正性
一、问题的提出
某部门有四个下属单位，各单位人数情况如下： 人 数 领导倾向 领导机构 20 20 甲 75 9 乙 45 6 丙 35 3 丁 25 2 上面表中第3行“领导倾向”表示20个领导中有9人在投票中将把票投到甲单位候选人，6人投乙单位候选人。
在评选各类先进人物的时候，经常涉及投票的问题。一般各单位人员均倾向于本单位，领导也有一定的倾向性。但领导的倾向性跟一般成员有差异：当指标较少的时候，首先倾向于本单位，当指标相对多的时候，为了在整个部门有好印象，会将其中的部分票投向其它单位成员。当候选人条件完全相同的时候，这种倾向性就显得更重要。
1．在某次评优中，该部门总共有2个指标。负责人让每个单位推荐2位候选人，然后从这8个人中通过投票选出2人。投票人在票上本人同意的人名下书写数字1，2，表明支持这两个人，1优先，2次之，其余不填。最后清点8个候选人所得数字之和，数字之和最小的两个候选人当选。假定每位候选人条件相同，估计这两个指标很大可能落入哪些单位？
2．该部门为了体现公平，要求每位投票者只能填写1个本单位人员，1位其它单位人员。按照这种办法再估计一下选举结果。这种办法是否提高了公平性。
3．为了获得更大的希望，某个单位只推举1位候选人，你认为这种做法是否真的有利，能否对结果产生影响。只考虑⑴单位甲推举1人，其它3个单位推举2人；⑵单位丙推举1人，其它3个单位推举2人。
4．提出比较公正合理的选举办法。
二、问题背景简述与分析
在各类推优评先中，投票选举一直是重要的方法，投票的公正性与与合理性将对投票结果产生影响。笔者针对题目中已知条件进行分析：
1、 从“某部门有四个下属单位”我们可以得出，表中领导机构不作为独立单
位；
2、 从“但领导的倾向性跟一般成员有差异：当指标较少的时候，首先倾向于
本单位，当指标相对多的时候，为了在整个部门有好印象，会将其中的部分票投向其它单位成员。”中我们可以得出，领导有自己的单位，即领导来自甲、乙、丙、丁四个单位，而且在指标紧张时会倾向于投自己单位的候选人，在指标相对宽松时会投票给其他单位候选人，但是一定会将第一票投给自己单位候选人；
3、 从“一般各单位人员均倾向于本单位”中我们可以得出，一般单位人员会
投自己单位候选人的票。
4、 从“当候选人条件完全相同的时候，这种倾向性就显得更重要”中可以得
出，当各单位候选人条件一致时，起决定因素的是倾向性。
根据以上推论可以得出，该部门总人数为180人，甲单位有9名领导，乙单位有6名领导，丙单位有3名领导，丁中有2名领导。一般单位人员将无条件投票给自己单位候选人，而领导至少将一票投给自己单位候选人。
三、基本假设与符号说明
3.1基本假设
假设每个候选人的条件一样。
某单位人员对其他单位候选人的投票或评分采取公正态度。
当评优指标有两个时，属于指标相对多的情况，无论本单位有多少候选人，领导都会将第二票投向其他单位。
假设投向其他单位的票将平均分流到其他单位的每个候选人。 3.1符号说明 符号 符号意义 Bx 某单位获得的票数总和，x为甲、乙、丙、丁 Bx1 某单位获得的优先票的票数总和，x为甲、乙、丙、丁 B自2 某单位人员投给自己单位候选人次之票的总和 Bx2 某单位获得的次之票的票数总和，x为甲、乙、丙、丁 [Bx] 某单位领导平均投给其他单位的票数，x为甲、乙、丙、丁 Nx 某单位的得数总和，x为甲、乙、丙、丁 Nx 某单位平均每个候选人的得数总和，x为甲、乙、丙、丁 Pxi x单位的i号候选人的平均得分 k 某评选方案的公正合理度 ? 所有候选人的的票数或者的分数的标准偏差 e 自然对数的底数，取近似值2.71828 Hx 某单位总人数，x为甲、乙、丙、丁 Q 各单位候选人取该单位人数Hx的Q% Vi 某候选人的平均得分 V 所有候选人的平均得分 四、问题分析与建模流程
4.1问题一分析
在该问题中，该部门有两个指标，而每个单位有两个候选人，属于指标相对较多的情况，对于一般单位人员来说，他们均倾向于本单位候选人，因此他们将都投向本单位
1
候选人，而领导则会将第一票（优先）投向本单位候选人，将第二票（次之）投给其他单位候选人，将每个单位的两个候选人看做一个整体，则该单位所得票数为：
Bx=Bx1+Bx2
其中：
Bx2??[Bx]?B自2
假设，领导投给其他部门票是等可能的，那么我们可以将领导的票取平均值作为流出票数，有：
[B甲]?9?3?3 [B乙]?6?3?2 [B丙]?3?3?1 [B丁]?2?3?0.7
所得数字之和为：
Nx=Bx1+2?Bx2
根据“当候选人条件完全相同的时候”条件，假设同单位候选人得票情况相同，即
1认为候选人所得数子之和为Nx?NX，因此有下表：
2 甲 75 69.7 214.4 107.2 乙 45 43.7 132.4 66.2 丙 35 37.7 110.4 55.2 丁 25 29 83 41.5 Bx1 Bx2 Nx Nx 4.1问题二分析 在该问题中，每单位人员只能投一票给自己单位的候选人，那么根据倾向性原则，每单位人员的优先票将投给自己单位候选人，而次之票将投给其他单位候选人，那么依然将各单位两个候选人看做一个整体，所得总票数为：
Bx=Bx1+Bx2
其中：
Bx2??[Bx]?B自2
假设次之票投给其他三个单位是等可能事件，则取其平均值作为流出票数，那么有：
[B甲]?75?3?25
2