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广义Julia集分形图的研究与绘制
作者：于红志
来源：《科技资讯》2011年第35期
摘 要：复数域的非线性映射 f(Z)=Z2 + c,能从一种算法中产生出丰富的几何形态──Julia集。由高阶迭代函数f(Z)=Zm + c, 逃逸时间算法及复变函数理论，可推导出高阶Julia集逃逸时间算法，分别绘制m取正整数、负整数、非整数时的几组分形图。当c取不同的值时，即可实现基于广义Julia 集花型图案设计。
关键词：分形图 Julia集 逃逸时间算法 迭代函数
中图分类号：TP31 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2011）12（c）-0000-00
1广义 Julia 集 将二次复映射
在动态平面上拓广到高阶复映射变换: f(Z)=Zm + c (2≤m≤10)
得到高阶广义Julia 集的高效算法：逃逸时间算法。构造高阶广义Julia 集。
对于高阶复映射f(Z)=Zm + c，|m|>2,当m为负整数时，分子与分母需乘以Zm的共轭复数，用三角表示法中求得复数的实部和虚部，再转换到直角坐标系进行计算。迭代函数形式可表为：
Zn+1=Znm + c Zn,c∈C n=0,1,2… 由复变函数基本理论 Znm=rnm(cosmθn+isinmθn)
并按实部和虚部进行展开，得到迭代式为： xn+1=rnmcosmθn+cx
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yn+1=rnmsinmθn +cy
其中，rn=。若m取为负整数，由（3）式可知不应取为零值；对于m为负整数，根据复变函数理论，上述推导同样适用。
绘制高阶Julia 集的逃逸时间算法过程：
1）给出复映射阶数m、复参数c、收敛半径界限值R及迭代次数界限值N； 2）确定动态平面中z的范围，分形图的屏幕映射区域M×M； 3）依次在指定的范围内选取一初始点Z0； 4）按（3）进行迭代计算n←n+1；
5）判断rn>R满足，结束该点的迭代；进一步判断n 6）若rn
以上算法对于二阶Julia 集分形同样适用。现在根据所给出的高阶广义Julia 集的逃逸时间算法，分别绘制m取正整数、负整数、非整数时的几组分形图。
取c=0.5+i0.5 ， 收敛半径 r=4 ，迭代次数n=30 ；生成如图1(a)-(f)的一组广义高阶Julia 集。其中(a) (b)为正整数阶Julia 集分形图，(e)为负整数阶Julia 集分形图，(f)为非整数阶Julia 集分形图。
将生成图2的参数中的收敛半径放大，取r=10，其余参数不变，则生成图2(a)-(f)的高阶广义Julia 集分形图。将该两组图进行比较观察，可得到高阶广义Julia 集的某些特性。 由上述两组分形图可以看出对c=0.5+i0.5所生成的高阶Julia 集具有如下特性： m为正整数时，吸引区域处于逃逸区域的包围之中，并且有m个主瓣均匀分布在一定的圆周上，各主瓣呈自对称性。
m为负正整数时，逃逸区域处于吸引区域的包围之中，|m|个较为清晰的星型结构的逃逸区域较均匀的分布在主星型逃逸区域的四周。
m为非整数时，呈相邻两整数分形图的过度状态。m为负数时，中间的主星型逃逸区域为拟椭圆，随着|m|的增大而逐渐增大。
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m为负数时，生成分形图受到收敛半径的制约，如图1中，当m
2基于广义 Julia 集的花型图案设计与实现
基于分形几何的图案设计与绘制包括造型和色彩两部分，造型是组成图案的基础，其基本单元由分形算法产生，而其色彩的取值在分形算法中是一组具有分形特征的数值集合的映象。由逃逸时间算法和迭代函数式f(Z)=Zm + c,当c取不同的值时，绘制出如下列图所示的美丽多姿的分形花。图3至图4中的m取值分别为9，10；图5中的m取值如图中分别所示。 图5多瓣分形花
上述设计的图案揭示了这样的规律： 基于Julia 集所绘制的花型图案呈现出的花瓣数目取决于迭代函数的阶数m，分形花呈现的花瓣数目取决于迭代函数的阶数m。 3结语
由复数域的非线性映射 f(Z)=Z2 + c,推广到高阶迭代函数f(Z)=Zm + c, 由逃逸时间算法及复变函数理论，得到高阶广义Julia 集的高效算法。构造高阶广义Julia 集。复分形图通过逃逸时间算法画点来完成，画出的图象更具有艺术感。
分形图形神奇美丽、多姿多彩、变幻莫测，蕴含着科学之美。这种图案可适用于各种不同需要，在纺织印染、地革墙纸和包装装璜等方面均有用武之地。
深入研究复域的迭代函数系统所显示出的色彩与图形千变万化的内在规律性，并生成所希望的数学艺术图形则不仅具有应用价值更有其理论意义。 参考文献
[1] 张静.基于实数分形的图案设计[J].信息技术与信息化，2010 [2] 惠红梅.分形——艺术之美[J].科技信息，2010
[3] 李常.一种基于广义M —J集的安全底纹设计方法[J].计算机应用与软件，2011