专题五 平面解析几何
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高考点拨] 平面解析几何是高考的重点内容，常以“两小一大”呈现，两小题主要考查直线与圆的位置关系．双曲线的图象和性质(有时考查抛物线的图象和性质)，一大题常考查以椭圆(或抛物线)为背景的图象和性质问题．基于上述分析，本专题将从“直线与圆”“圆锥曲线的定义、方程、几何性质”“圆锥曲线中的综合问题”三条主线引领复习和提升．
突破点13 直线与圆
提炼1 (1)圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
(2)圆的一般方程
E??D
－，－x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D＋E－4F＞0，表示以?2为圆心，2???
2
2
2
2
圆的方程 D2＋E2－4F
为半径的圆.
2
提炼2 求解直线与圆相关问题的两个关键点 (1)三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理． |Ax0＋By0＋C|
(2)两个公式：点到直线的距离公式d＝，弦长公式|AB|＝2r2－d222A＋B(弦心距d).
提炼3 求距离最值问题的本质 (1)圆外一点P到圆C上的点距离的最大值为|PC|＋r，最小值为|PC|－r，其中r为圆的半径．
(2)圆上的点到直线的最大距离是d＋r，最小距离是d－r，其中d为圆心到直线的距离，r为圆的半径．
(3)过圆内一点，直径是最长的弦，与此直径垂直的弦是最短的弦．
回访1 圆的方程
x2y2
1．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆16＋4＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
?3?2225
?x－2?＋y＝ 由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，
4??－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)
22
m＋4＝r，?222
三点．设圆的标准方程为(x－m)＋y＝r(0
??4－m?＝r，
3m＝??2，?225??r＝4.
25?3?
所以圆的标准方程为?x－2?2＋y2＝4.]
??
2．(2014·山东高考)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为23，则圆C的标准方程为______________________．
(x－2)2＋(y－1)2＝4 设圆C的圆心为(a，b)(b>0)，由题意得a＝2b>0，且a2＝(3)2＋b2，解得a＝2，b＝1.
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.] 回访2 直线与圆的相关问题
3．(2016·全国甲卷)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
4
A．－3 C.3
3B．－4 D．2
A 由圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝
|a＋4－1|4
＝1，解得a＝－.] 23a＋1
4．(2016·全国乙卷)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C的面积为________．
4π 圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2， 所以圆心C(0，a)，半径r＝a2＋2，|AB|＝23，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝a2＝2，
所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.]
|0－a＋2a|?23?2?|0－a＋2a|?2
?＝a2＋2，解得?＋?，由勾股定理得?
2?2??2?
热点题型1 圆的方程