定积分与不定积分

第4章 不定积分

内容概要 名称 不 定 积 分 计 算 方 法 性 质 不 定 积 分 的 概 念 设主要内容 f(x), x?I,若存在函数F(x),使得对任意x?I均有 F?(x)?f(x) f(x)dx,则称F(x)为f(x)的一个原函数。 上的不定积分,记为 或dF(x)?f(x)的全部原函数称为f(x)在区间I?f(x)dx?F(x)?C 注:(1)若(2)若F(x),G(x)均为f(x)的原函数,则f(x)连续,则必可积;F(x)?G(x)?C。故不定积分的表达式不唯一。 性质1:性质2:性质3: 第一换元 积分法 (凑微分法) 第二类 换元积 分法 d?f(x)dx??f(x)dx; f(x)dx??f(x)或d???????dx?F?(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C; ?[?f(x)??g(x)]dx???f(x)dx???g(x)dx,?,?为非零常数。 设f(u)的 原函数为F(u),u??(x)可导,则有换元公式: ?f(?(x))??(x)dx??f(?(x))d?(x)?F(?(x))?C 设x??(t)单调、可导且导数不为零,则 f[?(t)]??(t)有原函数F(t),?f(x)dx??f(?(t))??(t)dt?F(t)?C?F(??1(x))?C 分部积分法 ?u(x)v?(x)dx??u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x) 若有理函数为假分式,则先将其变为多项式和真分式的和;对真分式的处理按情况确定。 有理函数积分 本章 的地 位与 作用 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题,实质上是求被积函数的原函数问题;后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分,最终的解决都归结为对定积分的求解;而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲,不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用,积分的问题会不会求解及求解的快慢程度,几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入,同学们会慢慢体会到! 课后习题全解 习题4-1

1.求下列不定积分:

知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!

1

★(1)

?xdx2x

思路: 被积函数 1x2x?52?x?52,由积分表中的公式(2)可解。

解:

?xdx22?2??xdx??x?C

3x1x)dx

3★(2)

3?(x?思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。

3解:?(x?)dx??(x?x)dx??xdx??xdx?x3?2x2?C

4x3??11312131241★(3)(2?x?x2)dx

思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。

2x13(2?x)dx??2dx??xdx??x?C 解:?ln23x2x2★(4)

??x(x?3)dx

思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:

2x(x?3)dx??xdx?3?xdx?x2?2x2?C

53212533x4?3x2?1★★(5)?x2?1dx

3x4?3x2?112?3x?思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积22x?1x?1分。

3x4?3x2?112dx?3xdx?dx?x3?arctanx?C 解:?22??x?11?xx2★★(6)?1?x2dx

x2x2?1?11??1?思路:注意到

1?x21?x21?x2,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。

2

x21dx?dx?解:???1?x2dx?x?arctanx?C.

1?x2注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。

★(7)(?x134-+-)dx 2xx3x4思路:分项积分。 解:(-x13411?3?4+-)dx?xdx?dx?3xdx?4xdx ?2xx3x4????2x134?x2?ln|x|?x?2?x?3?C. 42332(??1?x21?x2)dx

★(8)

思路:分项积分。 解:(?3211?)dx?3dx?2dx?3arctanx?2arcsinx?C. 2??221?x21?x1?x1?x★★(9)

?xxxdx

xxx??看到xxx?x7815111??248思路:解:

?x78,直接积分。

?8xxxdx??xdx?x8?C.

151?x2(1?x2)dx

★★(10)

思路:裂项分项积分。 解:

111111dx?(?)dx?dx?dx???arctanx?C. ?x2(1?x2)?x21?x2?x2?1?x2xe2x?1dx ★(11)?xe?1e2x?1(ex?1)(ex?1)dx??dx??(ex?1)dx?ex?x?C. 解:?xxe?1e?1★★(12)

?3edx

xxxxx(3e)。 思路:初中数学中有同底数幂的乘法: 指数不变,底数相乘。显然3e? 3

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