2018年高考数列专题复习
考点一：求数列的通项公式
1.由an与Sn的关系求通项公式:由Sn与an的递推关系求an的常用思路有：
①利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；
??S1，n＝1，
数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝?当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1
?Sn－Sn－1，n≥2.?
的情况可
并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示． ②转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n的关系，再求an. 2.由递推关系式求数列的通项公式
由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解．
（1）当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列； 当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列； （2）当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解； an（3）当出现=f(n)时，用累乘法求解.
an－1
3.数列函数性质的应用
数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．
函数思想在数列中的应用
(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决．
(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法．
（3)数列{an}的最大(小)项的求法
???an－1≤an，?an－1≥an，?可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式组?找到数列的最小项. ?an≥an＋1，???an≤an＋1，
1
考点二：等差数列和等比数列 定义 通项公式 (1)定义法 (2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n≥1) ?{an}为等差数列 判定方法 (3)通项公式法：an＝pn＋q(p、q为常数) ?{an}为等差数列 (4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)?{an}为等差数列 (5){an}为等比数列，an>0?{logaan}为等差数列 (1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq 特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap. 性质 (2)an＝am＋(n－m)d (3) 数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列， 即2(S2m－Sm)＝Sm+(S3m－S2m) 1＋an等差数列 an－an－1＝常数(n≥2) an＝a1＋(n－1)d (1)定义法 等比数列 an＝常数(n≥2) an－1an＝a1qn1(q≠0) －(2)中项公式法：a2an＋2(n≥1)(an≠0) n＋1＝an·?{an}为等比数列 (3)通项公式法：an＝c·qn(c、q均是不为0的常数，n∈N*)?{an}为等比数列 (4){an}为等差数列?{aan}为等比数列(a>0且a≠1) (1)若m、n、p、q∈N*，且m＋n＝p＋q， 则am·an＝ap·aq 特别地，若m＋n＝2p，则am·an＝a2p. (2)an＝amqn－m (3) 若等比数列前n项和为Sn则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)2＝Sm(S3m－S2m)(m∈N*，公比q≠－1)． a1(1)q≠1，Sn＝－qna1－anq＝ 1－q1－q前n项和 Sn＝2＝na1＋－2d (2)q＝1，Sn＝na1 1.在等差(比)数列中，a1，d(q)，n，an，Sn五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算．
2.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工
具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形． 3.用函数的观点理解等差数列、等比数列
（1）对于等差数列an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当d≠0时，an是关于n的一次函数，对应的点(n，an)是位于直线上的若干个离散的点；
当d＞0时，函数是单调增函数，对应的数列是单调递增数列，Sn有最小值；
2
当d＝0时，函数是常数函数，对应的数列是常数列，Sn=na1；
当d＜0时，函数是减函数，对应的数列是单调递减数列，Sn有最大值．
若等差数列的前n项和为Sn，则Sn＝pn2＋qn(p，q∈R)．当p＝0时，{an}为常数列；当p≠0时，可用二次函数的方法解决等差数列问题．
（2）对于等比数列an＝a1qn1，可用指数函数的性质来理解．
－
当a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1时，等比数列{an}是单调递增数列； 当a1＞0,0＜q＜1或a1＜0，q＞1时，等比数列{an}是单调递减数列；
当q＝1时，是一个常数列；当q＜0时，无法判断数列的单调性，它是一个摆动数列． 4.常用结论
Sn(1)若{an}，{bn}均是等差数列，Sn是{an}的前n项和，则{man＋kbn}，{}仍为等差数列，其中m，k
n为常数．
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(2)若{an},{bn}均是等比数列，则{can}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}，{manbn}(m为常数)，{a2n}，{}等也是等an比数列．
(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a2－a1，a3－a2，a4a3－a2－a3，…成等比数列，且公比为＝a2－a1
2－a1
a2－a1
＝q.
(4)等比数列(q≠－1)中连续k项的和成等比数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，其公比为qk.
等差数列中连续k项的和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，公差为k2d. 5.易错提醒
??S1，n＝1，
(1)应用关系式an＝?时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这
?Sn－Sn－1，n≥2?
两种情况能否整合在一起．
a＋c
(2)三个数a，b，c成等差数列的充要条件是b＝，但三个数a，b，c成等比数列的必要条件是b2＝ac.
26.等差数列的判定方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数； (2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立； (3)通项公式法：验证an＝pn＋q； (4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.
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