第十七章 多元函数微分学
一、证明题 1. 证明函数
?x2y,x2?y2?0?22f(x,y)??x?y 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.
?0,x2?y2?0?2. 证明函数
1?22(x?y)sin, x2?y2?0?22x?yf(x,y)?? 22?0, x?y?0?在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f在原点(0,0)可微.
3. 证明: 若二元函数f在点p(x0,y0)的某邻域U(p)内的偏导函数fx与fy有界,则f在U(p)内连续.
4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有
x?yarctg≈x+y.
1?xy5. 试证:
(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和; (2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和. 6.设Z=
y,其中f为可微函数,验证 22fx?y??1?Z1?ZZ+=. x?xy?yy27.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f为可微函数,证明:8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换 x=u cosθ-v sinθ, y=u sinθ+v cosθ 之下.?fx?+fy2?Z?Z sec x + secy=1. ?x?y??是一个形式不变量,即若
2g(u,v)=f(u cosθ-v sinθ,u sinθ+v cosθ). 则必有?fx?+fy2??=?g?+?g?.(其中旋转角θ是常数)
222uv9.设f(u)是可微函数,
F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t), 试求:Fx(0,0)与Fg(0,0)
10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式 F(tx,ty,tZ)=tk(x,y,z)(t>0)
则称F(x,y,x)为K次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K次齐次函数的充要条件是:
xFx?x,y,z?+yFy?x,y,z?+ZFx?x,y,z?=KF(x,y,z).
并证明:Z=
xy2x?y22?xy为二次齐次函数.
11..设f(x,y,z)具有性质ftx,tky,tmZ=tf(x,y,z)(t>0) 证明:
(1) f(x,y,z)=xf?1,n??n?yZ,mk?xx??; ?(2) xfx?x,y,z?+kyfy?x,y,z?+mzfz?x,y,z?=nf(x,y,z). 12.设由行列式表示的函数
a11?t? a12?t? ??? a1n?t?D(t)=
a21?t? a22?t? ??? a2n?t? ?????????????????????an1?t? an2?t? ??? ann?t?
其中aij?t?(i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明
a11?t? a12?t? ??? a1n?t?dD?t?=?dtk?1n ?????????????????????a?k1?t? a?k2?t? ??? a?kn?t? ?????????????????????an1?t? an2?t? ??? ann?t?13.证明:
(1) grad(u+c)=grad u(c为常数);
(2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数); (3) grsdu v=u grad v+v grsd u; (4) grad f(u)=f?(u)grad u.
14.设f(x,y)可微,L1与L2是R2上的一组线性无关向量,试证明;若f?i?x,y??0(i=1,2)则f(x,y)≡常数.
15.通过对F(x,y)=sin x cos y施用中值定理,证明对某?? (0,1),有
????3???????sinsincos=cos.
364336616.证明:函数
u=
12a?te??x?b?24a2t(a,b为常数)
2?u2?u满足热传导方程:=a 2?t?x17.证明:函数u=ln?x?a?2??y?b?2?2u?2u(a,b为常数)满足拉普拉斯方程:2+2=0.
?x?y18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程:
?2u?2uxy+=0.则函数V=f(,)也满足此方程. 222222?xx?yx?y?y19.设函数u=??x???y??,证明:
?u?2u?u?2u??=. ?x?x?y?y?x220.设fx,fy和fyx在点(x0,y0) 的某领域内存在,fyx在点(x0,y0)连续,证明fxy(x0,y0)也存在,且fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0),
21.设fx,fy在点(x0,y0)的某邻域内存在且在点(x0,y0)可微,则有 fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0)
二、计算题
1.求下列函数的偏导数:
(1) Z=x2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=
1x?y22;