滴滴答答的等等第1课时 等比数列的前n项和
学习目标：1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用(重点).2.会用错位相减法求数列的和(重点).3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题．
[自 主 预 习·探 新 知]
1．等比数列前n项和公式 等比数列的前n项和公式
思考：类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn?
[提示]可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数． 2．错位相减法
(1)推导等比数列前n项和的方法
一般地，等比数列{an}的前n项和可写为：
Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， ①
用公比q乘①的两边，可得
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn， ②
由①－②，得(1－q)Sn＝a1－a1q， 整理得Sn＝
na1
－q1－qn(q≠1)．
(2)我们把上述方法叫错位相减法，一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且q≠1.
思考：等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗？ [提示] 根据等比数列的定义，有：＝＝＝…＝再由合比定理， 则得
a2a3a4a1a2a3an＝q， an－1
a2＋a3＋a4＋…＋an＝q，
a1＋a2＋a3＋…＋an－1
- 1 -
滴滴答答的等等即
Sn－a1
＝q，进而可求Sn. Sn－an[基础自测]
1．思考辨析
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝
a1
－q1－qn来求．( )
(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.( ) (3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aq＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N)，则此数列一定是等比数列．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
提示：(1)错误．在求等比数列前n项和时，首先应看公比q是否为1，若q≠1，可直接套用，否则应讨论求和．
(2)正确．若数列既是等差数列，又是等比数列，则是非零常数列，所以前n项和为Sn＝na. (3)正确．根据等比数列前n项和公式Sn＝
n*
a1
－q1－qn(q≠0且q≠1)变形为Sn＝
n－1－q1－qa1a1
qn(q≠0且q≠1)，若令a＝
a1
1－q，则和式可变形为Sn＝a－aq.
2．等比数列{an}中，a1＝1，q＝2，则S5＝________. 31 [S5＝
a1
－q1－q5
1－2＝＝31.] 1－2
5
1234
3．数列，，，…的前10项的和S10＝________.
24816
【导学号：91432215】
509123910
[S10＝＋＋＋…9＋10， 25624822112910则S10＝＋＋…＋10＋11. 24822
1??1?10?1－?????2??1011111102?509
两式相减得，S10＝＋＋＋…＋10－11＝－11，所以S10＝.] 22482212256
1－2
4．某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．
11(1.1－1)a [去年产值为a，从今年起5年内各年的产值分别为1.1－1.15
1.1a,1.1a,1.1a,1.1a,1.1a.所以1.1a＋1.1a＋1.1a＋1.1a＋1.1a＝a·＝11(1.1
1－1.1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
5
－1)a.]
- 2 -
滴滴答答的等等[合 作 探 究·攻 重 难]
等比数列基本量的运算
在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求Sn； (2)a＋a5
1＋a3＝10，a46＝4
，求S5；
(3)a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求q. [解] (1)由题意知
???a1＋q＝30，??
a1＋q＋q2
＝155，
?a1＝180，解得???
a1＝5，?或?
?
q＝5，
???
q＝－5
6.
从而S1n＋1
5n＝4×5－4
或
n1 080×???1－???－5?S6?????
n＝11
.
?a＋a2
11q＝10(2)法一 由题意知?
，???a3q5
＝51q＋a14，
?a1＝8，
5
解得?
?从而Sa1
－q5＝
??q＝1
2
，1－q＝312
. 法二 由(a3
1＋a3)q＝a4＋a6， 得q3
＝118，从而q＝2.
又a2
1＋a3＝a1(1＋q)＝10， 5
所以a1＝8，从而Sa1
－q5＝
1－q＝312
. (3)因为a2an－1＝a1an＝128，
所以a2
1，an是方程x－66x＋128＝0的两根．从而???
a1＝2，?或?2，
?an＝64
??an＝??a1＝64.
91432216】- 3 -
【导学号：