专题6 三角函数及解三角形
1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=
sinx?x在[??,?]的图像大致为
cosx?x2B.
A.
C. D.
【答案】D 【解析】由f(?x)?sin(?x)?(?x)?sinx?x???f(x),得f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,
cos(?x)?(?x)2cosx?x2ππ2?4?2π?1,f(π)?π?0,排除B,C,故选D. 排除A.又f()?22π22π?1?π()21?【名师点睛】本题考查函数的性质与图象,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养,采取性质法或赋值法,利用数形结合思想解题.解答本题时,先判断函数的奇偶性,得f(x)是奇函数,排除A,再注意到选项的区别,利用特殊值得正确答案.
2.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数f(x)?sin|x|?|sin x|有下述四个结论:
①f(x)是偶函数
②f(x)在区间(
?2,?)单调递增
③f(x)在[??,?]有4个零点 其中所有正确结论的编号是 A.①②④ C.①④ 【答案】C 【解析】
④f(x)的最大值为2
B.②④ D.①③
f??x??sin?x?sin??x??sinx?sinx?f?x?,?f?x?为偶函数,故①正确.
当
π????x?π时,f?x??2sinx,它在区间?,??单调递减,故②错误. 2?2?当0?x?π时,f?x??2sinx,它有两个零点:0??;当?π?x?0时,f?x??sin??x??sinx
??2sinx,它有一个零点:?π,故f?x?在???,??有3个零点:???0??,故③错误.
当x??2k?,2k????k?N???时,f?x??2,2k??2sinx;当x??2k???时,???kN???fx?x??sin?si?nx,又0f?x?为偶函数,?f?x?的最大值为2,故④正确.
综上所述,①④正确,故选C.
【名师点睛】本题也可画出函数f?x??sinx?sinx的图象(如下图),由图象可得①④正确.
3.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中,以A.f(x)=|cos2x| C.f(x)=cos|x| 【答案】A
?2为周期且在区间(
?4,
?2)单调递增的是
B.f(x)=|sin2x| D.f(x)=sin|x|
【解析】作出因为y?sin|x|的图象如下图1,知其不是周期函数,排除D; 因为y?cosx?cosx,周期为2π,排除C;
π??,在区间(,)单调递增,A正确; 242π??作出y?sin2x的图象如图3,由图象知,其周期为,在区间(,)单调递减,排除B,
242作出y?cos2x图象如图2,由图象知,其周期为故选A.
图1
图2
图3
【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质,渗透直观想象、逻辑推理等数学素养,画出各函数图象,即可作出选择.本题也可利用二级结论:①函数y?f(x)的周期是函数y?f(x)周期的一半;②y?sin?x不是周期函数.
4.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0,
?2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=
A.
15 B.
55
C.
33 D.
255
【答案】B 【解析】
???2?4sinα?cosα?2cosα.α?2sin2α?cos2α?1,?0,?,?cosα?0,sinα?0,?2?15,故?2sinα?cosα,又sin2??cos2??1,?5sin2α?1,sin2α?,又sin??0,?sin??55选B.
【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查,中等难度,判断正余弦的正负,运算准确性是关键,题目不难,需细心,解决三角函数问题,研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键,切记不能凭感觉.解答本题时,先利用二倍角公式得到正余弦关系,再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案.
5.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数f?x?=sin(?x?个零点,下述四个结论:
①f?x?在(0,2?)有且仅有3个极大值点 ②f?x?在(0,2?)有且仅有2个极小值点
?)(?>0),已知f?x?在?0,2??有且仅有55