第十二节 导数的综合应用
【最新考纲】 会用导数解决实际问题，能利用导数解决函数的零点、不等式恒成立或证明问题．
1．生活中的优化问题
通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点．
2．利用导数解决生活中的优化问题的基本思路
3．导数在研究方程(不等式)中的应用
研究函数的单调性和极(最)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数、不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题、利用导数进行研究．
1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若实际问题中函数定义域是开区间，则不存在最优解．( )
(2)函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c的图象与x轴最多有3个交点，最少有一个交点．( ) (3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值大于0，则f(x)＞g(x)．( )
(4)“存在x∈(a，b)，使f(x)≥a”的含义是“任意x∈(a，b)，使f(x)≥a”．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y13
＝－x＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
3
1
3
2
A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件
解析：y′＝－x＋81，令y′＝0得x＝9或x＝－9(舍去)． 当x∈(0，9)时，y′>0，当x∈(9，＋∞)时，y′<0， 则当x＝9时，y有最大值．
即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件． 答案：C
3．若函数f(x)＝x－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是________． 解析：由于函数f(x)是连续的，故只需要两个极值异号即可，f′(x)＝3x－3，令3x－3＝0，得x＝±1，只需f(－1)·f(1)<0，即(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2，2)．
答案：(－2，2)
ln x
4．若f(x)＝，0 x1－ln x 解析：由题意可知，f′(x)＝， 2 x1－ln x 当x∈(0，e)时，>0，即f′(x)>0， 2 x∴f(x)在(0，e)上为增函数， 又∵0 5．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为________． 解析：因为12π＝2πrh＋2πr，所以rh＋r＝6. 所以V＝πrh＝πr(6－r)(0 当0 所以当r＝2时，V取极大值，也是最大值，此时h＝22， 所以r∶h＝1∶2. 答案：1∶2 一个“构造” 2 2 2 2 2 2 2 2 32 把所求问题通过构造函数，转化为可用导数解决的问题，这是用导数解决问题时常用的方法． 两个转化 一是利用导数研究含参数函数的单调性问题，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 两点注意 1．注意实际问题中函数定义域的确定． 2．如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值 点． 一、选择题 1．(2016·潍坊模拟)方程x－6x＋9x－10＝0的实根个数是( ) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：设f(x)＝x－6x＋9x－10，f′(x)＝3x－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由此可知函数的极大值为f(1)＝－6<0，极小值为f(3)＝－10<0，所以方程x－6x＋9x－10＝0的实根个数为1个． 答案：C 2．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加1001??400x－x2，（0≤x≤400）， 2元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R＝R(x)＝?则总 ??80 000，（x>400），利润最大时，年产量是( ) A．100 B．150 C．200 D．300 解析：由题意，总成本函数为C＝C(x)＝20 000＋100 x， x??300x－－20 000，（0≤x≤400）， 2总利润P(x)＝? ??60 000－100x，（x>400）， ??300－x，（0≤x≤400） ， 又P′(x)＝? ?－100，（x>400），? 2 3 2 3 2 2 3 2 令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，总利润P(x)最大． 3