2019-2020年高考数学一轮复习第4章平面向量4.3平面向量的数量积及
其应用课后作业理
一、选择题
1．a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于( ) 881616A. B．－ C. D．－ 65656565答案 C
解析 由题可知，设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，所以可以解得x＝
a·b16－5，y＝12，故b＝(－5,12)．由cos〈a，b〉＝＝.故选C.
|a||b|65
2．已知向量a＝(m,2)，b＝(2，－1)，且a⊥b，则55A．－ B．1 C．2 D.
34答案 B
解析 ∵a⊥b，∴2m－2＝0，∴m＝1，则2a－b＝(0,5)，a＋b＝(3,1)，∴a·(a＋b)＝1×3＋2×1＝5，|2a－b|＝5，∴
|2a－b|5
＝＝1.故选B.
aa＋b5
→→→
→→
则向量EF在FD方向上的投影为( )
A．6 B．－6 C．23 D．－23 答案 B
→
→→
→→
→
解析 由OD＋DE＋DF＝0得，DO＝DE＋DF. ∴DO经过EF的中点，∴DO⊥EF.
→
→
→
连接OF，∵|OF|＝|OD|＝|DF|＝4， ∴△DOF为等边三角形，∴∠ODF＝60°. ∴∠DFE＝30°，且EF＝4×sin60°×2＝43.
→→
→
→
→
∴向量EF在FD方向上的投影为|EF|·cos〈EF，FD〉＝43cos150°＝－6，故选B. →→→→
→?AB?
?＋AC?·BC＝0且AB·AC＝1，
4．已知非零向量AB与AC满足则△ABC为( )
→→→→2???|AB||AC|?|AB||AC|
→→
A．三边均不相等的三角形 C．等腰非等边三角形
B．直角三角形 D．等边三角形
→
→
|2a－b|
等于( )
aa＋b3．已知△DEF的外接圆的圆心为O，半径R＝4，如果OD＋DE＋DF＝0，且|OD|＝|DF|，
答案 D
→
?→?→ABAC?＋?·BC＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，
解析 因为非零向量AB与AC满足
?→→??|AB||AC|?
→→→
所以AB＝AC.又cos∠BAC＝
→·
AB→
AC1π＝，所以∠BAC＝. →23|AC|→
→
→
→
→→
|AB|→
→
所以△ABC为等边三角形．故选D.
5．在△ABC中，|AB＋AC|＝3|AB－AC|，|AB|＝|AC|＝3，则CB·CA的值为( ) 99
A．3 B．－3 C．－ D. 22答案 D
→
→→
→
→→
→→→
→→
→
→
2
→
2
→→→
2
→
2
解析 由|AB＋AC|＝3|AB－AC|两边平方可得，AB＋AC＋2AB·AC＝3(AB＋AC－→→→
922
2AB·AC)，即AB＋AC＝4AB·AC，又|AB|＝|AC|＝3，所以AB·AC＝，又因为CB＝AB－AC，
2992
所以CB·CA＝(AB－AC)·(－AC)＝AC－AB·AC＝9－＝，故选D.
22
→→
→
→→
→
→
→
→
6．(xx·龙岩一模)已知向量OA与OB的夹角为60°，且|OA|＝3，|OB|＝2，若OC＝mOA＋→
→
→→
→
→
→
→
→→
mnOB，且OC⊥AB，则实数的值为( )
n11
A. B. C．6 D．4 64答案 A
→→→
→
→
→
→
→→→
→
→
→→→→
→
2
解析 OA·OB＝3×2×cos60°＝3，∵OC＝mOA＋nOB，且OC⊥AB，
→
2
∴(mOA＋nOB)·AB＝(mOA＋nOB)·(OB－OA)＝(m－n)OA·OB－mOA＋nOB＝0， ∴3(m－n)－9m＋4n＝0，
m1
∴＝.故选A. n6
322
7．已知直线y＝x＋m和圆x＋y＝1交于A，B两点，O为坐标原点，若AO·AB＝，则
2实数m＝( )
A．±1 B．±
321 C．± D．± 222
→
→
答案 C
解析 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立?
2
2
??y＝x＋m，
2
2
??x＋y＝1，
消去y得2x＋2mx＋m－1＝0，由
22
Δ＝4m－8(m－1)>0，得－2 m2－1 2→ ，xA＋xB＝－m，所以yAyB＝(xA＋m)(xB＋m)＝ m2－1 322 ，由AO·AB＝AO·(OB－OA)＝－OA·OB＋OA＝－xAxB－yAyB＋1＝－m＋2＝，解222 .故选C. 2 →→→→→→→ 得m＝± α·β 8．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α·β＝.若两个非零的平面向量 β·β ??ππ??a，b满足a与b的夹角θ∈?，?，且a·b和b·a都在集合? ?42??? ? 2 ??n??n∈Z?中，则a·b等 ?? 于( ) 531 A. B. C．1 D. 222答案 D 解析 根据新定义，得a·b＝|a||b|cosθ|b| ＝cosθ. 2 |a||a| 又因为a·b和b·a都在集合(a·b)·(b·a)＝cosθ＝ 2 a·b|a||b|cosθ|a|b·a＝＝cosθ，b·a＝＝2 b·b|b||b|a·a ?n??n1n2 ??n∈Z?中，设a·b＝，b·a＝(n1，n2∈Z)，那么 22?2?? n1n2 4 ，又θ∈? ?π，π?，所以0 ?12 ?42? n11 所以n1，n2的值均为1，故a·b＝＝.故选D. 22 9．已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝1，则对任意的正实数t， ?c＋ta＋1b?的最小值是( ) ?t??? A．2 B．22 C．4 D．42 答案 B 解析 设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则由c·a＝c·b＝1，得c＝(1,1)，c＋ta1??1?11?＋b＝(1,1)＋t(1,0)＋(0,1)＝?t＋1，1＋?，?c＋ta＋b?＝ tt?t??t? t＋ 2 ?1?2 ＋?1＋?＝ t? ? t2＋2＋2t＋＋2≥22，当且仅当t＝1时等号成立．故选B. tt10．已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( ) A．[2－1，2＋1] B．[2－1，2＋2] 12