第八讲 因式分解（添拆项与最值）
知识点回顾：
1、因式分解：因式分解就是把一个多项式变为几个整式的积的形式。 2、因式分解的方法：
（1）提公因式法，即ma+mb+mc=m(a+b+c)； （2）运用公式法，平方差公式：
a2?b2??a?b??a?b?；
完全平方公式：a2?2ab?b2=?a?b?2和a2?2ab?b2??a?b?2
（3）十字相乘法：对于二次三项式x2?Px?q，若能找到两个数a、b，使??a?b?p,?a?b?q,
则就有x2?Px?q?x2?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)． 注：若q为正，则a，b同号；若q为负，则a，b异号； 立方和差公式： 典型例题：
例1（1）计算 29982
+2998×4+4= 。
（2）若x2?4x?4的值为0，则3x2?12x?5的值是________。 例2：分解因式：
2ax2?8axy?8ay2 4a2
(x-y)+9b2
(y-x)
例3：已知a –b = 1 ，a2?b2?25 求ab和a+b的值。
例4 代数式2x2
+4x+5有最 值，是 ；﹣x2
+3x有最 值，是
例5 题目：分解因式：x2
﹣120x+3456．
分析：由于常数项数值较大，则常采用将x2﹣120x变形为差的平方的形式进行分解，这样简便易行．
（1）x2﹣140x+4875 （2）4x2﹣4x﹣575．
三、强化训练：
1、已知x+y=6，xy=4，则x2
y+xy2
的值为 . 2、分解因式：
(2a-b)2
-(a +b)2
-3ma3
+6ma2
-3ma a2
(m-n)+b2
(n-m)
m4?16n4 （8）16a4?72a2b2?81b4
4、已知：a=2999，b=2995，求a2?2ab?b2?5a?5b?6的值。
5、利用因式分解计算
???1?1??2??1?1??1??1??1?2??32????1?42????1?52??......??1?n2??
6、已知a为任意整数，且?a?13?2?a2的值总可以被n整除(n为自然数，且n不等于1)，则n的值为 。
7、已知x(x-1)-(x2?y)=-2,
x2?y22?xy的值。
8、把下列各式分解因式：
10、已知整数a，b满足6ab=9a﹣10b+16，求a+b的值．
（1）4x3﹣31x+15； （2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；
11、已知2008=
，其中x，y为正整数，求x+y的最大值和最小值．
（3）x5+x+1； （4）x3+5x2+3x﹣9；
（5）2a4
﹣a3
﹣6a2
﹣a+2； （6）﹣2x5n﹣1
yn+4x
3n﹣1
yn+2﹣2x
n﹣1
yn+4
；
（7）x3﹣8y3﹣z3﹣6xyz； （8）a2+b2+c2﹣2bc+2ca﹣2ab；
（9）a5﹣a3b2+a2b3﹣b5； （10）6x4+7x3﹣36x2﹣7x+6．
9、计算
．
12、阅读理解：对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2
+2ax﹣3a2
，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x2
+2ax﹣3a2
中先加上一项a2
，使其成为完全平方式，再减去a2
这项，使整个式子的值不变．于是有x2
+2ax﹣3a2
=x2
+2ax﹣3a2
+a2
﹣a2
=x2
+2ax+a2
﹣a2
﹣3a2
=（x+a）2
﹣（2a）2
=（x+3a）（x﹣a）．
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．
（1）请用上述方法求出x2
﹣4xy+3y2
=0（满足xy≠0，且x≠y）中y与x的关系式． （2）利用上述关系式求的值．
13、对于形如x2
+2ax+a2
这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2
的形式．但对于二次三项式x2
+2ax﹣3a2
，就不能直接运用公式了．
小红是这样想的：在二次三项式x2
+2ax﹣3a2
中先加上一项a2
，使它与x2
+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2
，整个式子的值不变，于是有：
x2
+2ax﹣3a2
=（x2
+2ax+a2
）﹣a2
﹣3a2
=（x+a）2
﹣4a2
=（x+a）2
﹣（2a）2
=（x+3a）（x﹣a）
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． 参考小红思考问题的方法，完成下列问题．
（1）利用“配方法”对整式a2
﹣6a+8进行因式分解； （2）利用“配方法”求出x2
﹣2x﹣3的最小值．
1、一知领的人，一定谦虚。——谢觉哉 2、人若勇敢就是自己最好的朋友。 半解的人，多不谦虚；见多识广有本 3、尺有所短；寸有所长。物有所不足；智有所不明。——屈原 4、功有所不全，力有所不任，才有所不足。——宋濂 5、“不可能”只存在于蠢人的字典里。 6、游手好闲会使人心智生锈。