2019年辽宁省铁岭市2015年中考数学试题及答案解析(Word版)

点评: 此题主要考查了一次函数的应用以及二次函数的应用,得出y与x的函数关系式是解题关键.

25.已知:点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点(不与点B重合),连接AD. (1)如图1,当点D在线段BC上时,将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE,连接CE.求证:BD=CE,BD⊥CE. (2)如图2,当点D在线段BC延长线上时,探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系,写出结论并说明理由;(3)若BD=CD,直接写出∠BAD的度数.

考点: 几何变换综合题.

分析: (1)根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°,再根据旋转性质可得AD=AE,∠DAE=90°,然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAE,然后利用“边角边”证明△BAD和△CEF全等,从而得证; (2)将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE,连接CE.与(1)同理可得CE=BD,

222

CE⊥BD,根据勾股定理即可求得2AD=BD+CD; (3)分两种情况分别讨论即可求得.

解答: (1)证明:如图1,∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=45°, ∵∠DAE=90°,

∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°, ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°, ∴∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中,

∴△BAD≌△CAE(SAS), ∴BD=CE,∠ACE=∠ABC=45°. ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°,

∴BD⊥CE;

(2)2AD=BD+CD,

理由:如图2,将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE,连接CE. 与(1)同理可证CE=BD,CE⊥BD, ∵∠EAD=90°AE=AD, ∴ED=AD,

222

在RT△ECD中,ED=CE+CD,

222

∴2AD=BD+CD.

(3)如图3,①当D在BC边上时,将线段AD1绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AE,连接BE,

与(1)同理可证△ABE≌△ACD1, ∴BE=CD1,BE⊥BC, ∵BD=CD, ∴BD1=BE, ∴tan∠BD1E=

=

2

2

2

∴∠BD1E=30°,

∵∠EAD1=EBD1=90°,

∴四边形A、D1、B、E四点共圆, ∴∠EAB=∠BD1E=30°, ∴∠BAD1=90°﹣30°=60°;

②将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AF,连接CF. 同理可证:∠CFD2=30°, ∵∠FAD2=FCD2=90°,

∴四边形A、F、D2、C四点共圆, ∴∠CAD2=∠CFD2=30°, ∴∠BAD2=90°+30°=120°, 综上,∠BAD的度数为60°或120°.

点评: 本题考查了正方形的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用,四点共圆的判定,圆周角定理等,通过旋转得出全等三角形是本题的关键.

26.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax+bx+与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点.与y轴交于点C,点D与点C关于抛物线的对称轴对称. (1)求抛物线的解析式,并直接写出点D的坐标;

(2)如图1,点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动,到达点B时停止运动.以AP为边作等边△APQ(点Q在x轴上方),设点P在运动过程中,△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S,点P的运动时间为t秒,求S与t之间的函数关系式; (3)如图2,连接AC,在第二象限内存在点M,使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似.请直接写出所有符合条件的点M坐标.

2

考点: 二次函数综合题.

分析: (1)直接代入求得函数解析式即可,由点D与C对称求得点D坐标即可; (2)由特殊角的三角函数值得出∠DAP=60°,则点Q一直在直线AD上运动,分别探讨当点P在线段AO上;点Q在AD的延长线上,点P在线段OB上以及点Q在AD的延长线上,点P在线段OB上时的重叠面积,利用三角形的面积计算公式求得答案即可;

(3)由于OC=,OA=3,OA⊥OC,则△OAC是含30°的直角三角形,分两种情况探讨:当△AMO以∠AMO为直角的直角三角形时;当△AMO以∠OAM为直角的直角三角形时;得出答案即可.

2

解答: 解:(1)∵抛物线y=ax+bx+经过A(﹣3,0),B(1,0)两点, ∴

解得,

∴抛物线解析式为y=﹣x﹣

2

x+;

则D点坐标为(﹣2,).

(2)∵点D与A横坐标相差1,纵坐标之差为,则tan∠DAP=, ∴∠DAP=60°,

又∵△APQ为等边三角形,

∴点Q始终在直线AD上运动,当点Q与D重合时,由等边三角形的性质可知:AP=AD=

=2.

①当0≤t≤2时,P在线段AO上,此时△APQ的面积即是△APQ与四边形AOCD的重叠面积. AP=t,

∵∠QAP=60°, ∴点Q的纵坐标为t?sin60°=∴S=×

t×t=

t.

2

t,

②当2<t≤3时,如图:

此时点Q在AD的延长线上,点P在OA上, 设QP与DC交于点H, ∵DC∥AP,

∴∠QDH=∠QAP=∠QHD=∠QPA=60°, ∴△QDH是等边三角形,

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