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?2ay(t)?2[cospnt?cospn(t?t1)pn??2
其中，
2pn?k2???vm，l。
或积分为
y(t)??t10F(?)sinpn(t??)d??mpnt1kat1[?sinpn(t??)d???cos??sinpn(t??)d?]0mpn0?2a?2[cospnt?cospn(t?t1)2pn??
3-9 图3-9是一轻型飞机起落架着陆冲撞的简单力学模型。试求弹簧从接触地面至反跳脱离接触的时间。
3-10 图3-10所示的箱子从高h处自由下落，箱体内有足够的间隙允许质量m运动，并且箱体质量远大于m。若箱子触地后不再跳起，试求：（1）箱子下落过程中质量块相对于箱体的运动；（2）箱子落地后传到质量块上的最大作用力。
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图3-9 图3-10
第四章 多单自由度系统的振动
4-1 图4-1所示系统中，各个质量只能沿铅垂方向运动，假设m1?m2?m3?m，
k1?k2?k3?k4?k5?k6?k。试求系统的固有频率及振型矩阵
图4-1
解：如图选择广义坐标。求质量矩阵及利用刚度影响系数法求刚度矩阵为
?m00??3k?K???kM??0m0??????00m??，??k?k3k?k?k??k??3k??
由频率方程
K?p2M?0，得
?k3k?mp2?k?k?k3k?mp2?03k?mp2?k?k 解出频率为
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p1?kkkp2?2p3?2m，m，m
?(3k?mp2)2?k2?????k2?k(3k?mp2)??k2?k(3k?mp2)???2B?K?pM的伴随矩阵的第一列， 由特征矩阵
adjB(1)
将
p1?km代入得系统的第一阶主振型为
A(1)??111?
TA(2)满足如下关系：
2(A(1))TMA(2)?0，(K?p2M)A(2)?0
(2)(2)(2)(2)(2)(2)A?A?A?0A?1。A?0A??11233展开以上二式得，。取2，1，可得到
即有
A(3)满足如下关系：
A(2)???101?
T2(3)(A(1))TMA(3)?0，(A(2))TMA(3)?0(K?p3M)A?0
(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)A?A?A?0?A?A?0A?A1231313展开以上二式得，，，联立得。取(3)(3)A1(3)?1，A3?1，可得到A2??2。即得
主振型矩阵为
A(3)??1?21?
T?1?11??A??10?2???1??11?
图4-2
&4-2 试计算图4-2所示系统对初始条件x0??0000?和x00v?0??vTT的响应。
解：在习题4-6中已求得系统的主振型矩阵和质量矩阵分别为
Ap?A??1?A?2?A?3?A?4???1?1???1???1 1 1?2?1感谢下载载 ?(1?2)?1 1 1?1?? 1?2??(1?2)??? 1? ?1精品
?11?1??1?11?2?11?2??A???12?1?1?1?2???111??1?m000??0m00??M???00m0???000m??主质量振型为
000? ?4.000?0??0.41400T? MP?AMA?m??004.0000???00013.657??
正则振型的第i列为
i)A(N?1MiA(i),由此得到正则振型振型为
?0.5000?0.65730.5000?0.2706???1?0.5000?0.2706?0.50000.6533?AN?m?0.50000.2706?0.5000?0.6533???0.50000.65330.50000.2706??
正则坐标初始条件为
?0.5000??0.6533TxN(0)?ANMx0?m??0.5000???0.27060.50000.5000??1??0.27060.27060.6533???0?0.5000?0.50000.5000??0??0.6533?0.65330.2706??00.5000??1?0.6533???00.5000??0??0.2706??00.5000000??0??0?????100???0???0?010??0??0??????001??0??0?0.50000.5000?0.5000??0.6533?0.27060.2706T&&xm?N(0)?ANMx0??0.5000?0.5000?0.5000???0.27060.6533?0.6533000??v??1?????0?100??0??mv???1?010??0??????001??v??0??xN(0)?ATx0= 0，xN(0)NM??ATNMx0= xN3? m?v0v0?
T正则坐标的响应为xN1?mvt，xN2?0，为p3?2km。 vmsinp3tp3，xN4?0其中频率
(1)(2)(3)(4)x?Ax?Ax?Ax?ANN1NN2NN3NxN4，展开得到 最终得到响应,由?x1??1??x???v?2?vt?1??????x3?2?1?2p3????x?1??4??1???1???cosp3t??1????1?
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1?v?(t?sinpt)3??2p3??1?v?(t?sinpt)3??2p3?1??2??3??4??x?ANxN1?ANxN2?ANxN3?ANxN4???v?1(t?sinpt)3??2p3???v?1(t?sinpt)?3?2p3??
解：从6—6中可得主频率和主振型矩阵为
p1?0 , p2?k?2?2?m,p3?2kk , p4?(2?2)mm
?m000???0m00?M???00m0???000m??，可求出主质量矩阵 由质量矩阵
则正则振刑矩阵为
000??1??02?200??Mp?APTMAP?4m?0010????0002?2???
??(2?2)2?2?11??22????22??1?1?1?22?AN?2m?2?2??1?1?22???2?22?2?1?1??22?
1111?????(2?2)?222?2???m?2222?1AN???1?1?11?2??2?22?22?2????2222?
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