第四章习题解答
4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为U0，求槽内的电位函数。
解 根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为
① ?(0,y)??(a,y)?0 ② ?(x,0)?0 ③ ?(x,b)?U0
根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为
?n?yn?x?(x,y)??Ansinh()sin()aan?1
由条件③，有 ?n?bn?xU0??Ansinh()sin()
aan?1 n?x sin()，并从0到a对x积分，得到 两边同乘以
a题4.1图
a2U0n?xAn?sin()dx?
asinh(n?ba)?a04U0?,n?1,3,5,L2U0(1?cosn?)??n?sinh(n?ba) ?n?sinh(n?ba)?0，n?2,4,6,L?4U01n?yn?x?(x,y)?sinh()sin() 故得到槽内的电位分布 ??n?1,3,5,Lnsinh(n?ba)aa4.2 两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y?d到y?b(???x??)。上板和薄片保持电位U0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y?0到y?d，电位线性变化，?(0,y)?U0yd。
解 应用叠加原理，设板间的电位为 y ?(x,y)? ?1(x,y)??2(x,y) 其中，?1(x,y)为bo不存在薄片的平行无限大导体平
d面间（电压为U0）y 的电位，即?1(x,y)?U0yb；
?2(x,y)是两个薄片时的电位，
① ?2(x,0)??2(x,b)?0 ② ?2(x,y)?0(x??)
y o 图 4.2题 y
电位为零的平行导体板间有导体
其边界条件为：
U0?U?y??0b③ ?2(0,y)??(0,y)??1(0,y)???U0y?U0y?b?d?(0?y?d)
(d?y?b)?xn?y?nb?(x,y)?Asin()e?(x,y) 根据条件①和②，可设2的通解为2?nbn?1U0?U?y(0?y?d)0?n?y??b)?? 由条件③有 ?Ansin(UUbn?1?0y?0y(d?y?b)?b?dn?y)，并从0到b对y积分，得到 两边同乘以sin(bdb2U0b2U02U011n?dyn?yn?ysin() An?(1?)sin()dy?(?)ysin()dy?2??(n?)dbb0bbbddbbU02bU0?(x,y)?y?故得到
bd?2?x1n?dn?y?nbsin()sin()e ?2bbn?1n?4.3 求在上题的解中，除开U0yb一项外，其他所有项对电场总储能的贡
2WeC?献。并按f定出边缘电容。
U02解 在导体板（y?0）上，相应于?2(x,y)的电荷面密度
?x2?0U0?1??2n?d?nb?2???0???sin(b)e
?yy?0?dn?1n则导体板上（沿z方向单位长）相应的总电荷
?????x2?0U0n?d?nb4?0U0b?1n?dsin()edx??sin() q2???2dx?2??2dx??2???22n?db?dnbn?10n?1??02?0bU021相应的电场储能为 We?q2U0??2?2d1n?dsin() ?2nbn?1?2We4?0b?1n?dC??sin()其边缘电容为 f?U02?2dn?1n2b
4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位U0，其余两面电位为零，求
槽内的电位的解。
解 根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为
① ?(0,y)??(a,y)?0
?(x,y)?0(y??) ② ?(x,0)?U0 ③
根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为
题4.4图
?(x,y)??Ane?n?yasin(n?1?n?x) a由条件③，有 U0??Ansin(n?1?n?x) a两边同乘以sin(n?x)，并从0到a对x积分，得到 a?4U0a,n?1,3,5,L2U0n?x2U0?An?sin()dx?(1?cosn?)? ?n?a?an?0??0，n?2,4,6,L4U01?n?yan?x?(x,y)?esin() 故得到槽内的电位分布为 ??n?1,3,5,Lna4.5 一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为
?x?z??y(y?b)sin()sin()
ac的电荷。求体积内的电位?。
解 在体积内，电位?满足泊松方程
?2??2??2?1?x?z????y(y?b)sin()sin() 222?x?y?z?0ac（1）
长方体表面S上，电位?满足边界条件?S?0。由此设电位?的通解为
?(x,y,z)?1?0???Amnpsin(m?1n?1p?1???m?xn?yp?z)sin()sin() abc代入泊松方程（1），可得
???m?2n?2p?2A[()?()?()]? ???mnpabcm?1n?1p?1sin(m?xn?yp?z?x?z)sin()sin()?y(y?b)sin()sin() abcac由此可得
Amnp?0 (m?1或p?1)
?2n?2?2n?yA[()?()?()]sin()?y(y?b) ?1n1abcbp?1?（2）
由式（2），可得
?2n?2?22bn?y4bA1n1[()?()?()]??y(y?b)sin()dy?()3(cosn??1)?
abcb0bbn??8b2??3?(n?)?0?
n?1,3,5,Ln?2,4,6,L