第29练 完美破解立体几何证明题
[内容精要] 立体几何中的题目最主要的两点就是证明和计算、其中证明主要是来证明空间中的点、线、面间的平行或垂直关系、本节就来探讨空间中的位置关系的证明问题、
题型一 空间中的平行问题
例1 在如图所示多面体ABCDE中、AB⊥平面ACD、DE⊥平面ACD、且AC＝AD＝CD＝DE＝2、AB＝1.
(1)请在线段CE上找到点F的位置、使得恰有直线BF∥平面ACD、并证明、 (2)求多面体ABCDE的体积、
破题切入点 (1)可先猜后证、可以利用线面平行的判定定理进行证明、 (2)找到合适的底面、
解 如图、(1)由已知AB⊥平面ACD、DE⊥平面ACD、 所以AB∥ED、
设F为线段CE的中点、H是线段CD的中点、 1
连接FH、AH、则FH綊ED、
2所以FH綊AB、
所以四边形ABFH是平行四边形、 所以BF∥AH、
又因为BF?平面ACD、AH?平面ACD、 所以BF∥平面ACD. (2)取AD中点G、连接CG. 因为AB⊥平面ACD、 所以CG⊥AB、
又CG⊥AD、AB∩AD＝A、 所以CG⊥平面ABED、
即CG为四棱锥C－ABED的高、求得CG＝3、 1?1＋2?
所以VC－ABED＝××2×3＝3.
32题型二 空间中的垂直问题
例2 如图、三棱柱ABC－A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形、侧面BB1C1C为菱形、∠CBB1＝60°、AB⊥B1C.
(1)求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.
(2)若AB＝2、求三棱柱ABC－A1B1C1的体积、 破题切入点 (1)考查面面垂直的判定定理、 (2)注意利用棱柱体积和锥体体积公式间的关系、 (1)证明 由侧面AA1B1B为正方形、知AB⊥BB1. 又AB⊥B1C、BB1∩B1C＝B1、 所以AB⊥平面BB1C1C、 又AB?平面AA1B1B、
所以平面AA1B1B⊥平面BB1C1C.
(2)解 由题意、CB＝CB1、设O是BB1的中点、 连接CO、则CO⊥BB1. 由(1)知、CO⊥平面AA1B1B、 且CO＝32BC＝3
2
AB＝3. 连接AB1
1、则VC－ABB1＝3S△ABB1·CO
＝16AB2·CO＝233
. 因为VB－ABC＝VC－ABB12311＝3VABC－A1B1C1＝3、
所以VABC－A1B1C1＝23.
故三棱柱ABC－A1B1C1的体积为＝23. 题型三 空间中的平行、垂直综合问题
例3 在如图所示的几何体中、四边形ABCD是正方形、MA⊥平面ABCD、PD∥MA、E、G、F分别为MB、PB、PC的中点、且AD＝PD＝2MA.
(1)求证：平面EFG∥平面PMA； (2)求证：平面EFG⊥平面PDC；
(3)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比、 破题切入点 (1)证明EG、FG都平行于平面PMA. (2)证明GF⊥平面PDC.
(3)设MA为1、从而其他边的长度都可表示、问题可求解、 (1)证明 ∵E、G、F分别为MB、PB、PC的中点、 ∴EG∥PM、GF∥BC.
又∵四边形ABCD是正方形、∴BC∥AD、∴GF∥AD.
∵EG、GF在平面PMA外、PM、AD在平面PMA内、 ∴EG∥平面PMA、GF∥平面PMA. 又∵EG、GF都在平面EFG内且相交、 ∴平面EFG∥平面PMA.
(2)证明 由已知MA⊥平面ABCD、PD∥MA、 ∴PD⊥平面ABCD.
又BC?平面ABCD、∴PD⊥BC. ∵四边形ABCD为正方形、∴BC⊥DC. 又PD∩DC＝D、∴BC⊥平面PDC. 由(1)知GF∥BC、∴GF⊥平面PDC. 又GF?平面EFG、∴平面EFG⊥平面PDC.
(3)解 ∵PD⊥平面ABCD、四边形ABCD为正方形、不妨设MA＝1、则PD＝AD＝2. ∵DA⊥平面MAB、且PD∥MA、 ∴DA即为点P到平面MAB的距离、
11
∴VP－MAB∶VP－ABCD＝S△MAB·DA∶S正方形ABCD·PD
331
×1×2?∶(2×2)＝1∶4. ＝S△MAB∶S正方形ABCD＝??2?即三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比为1∶4. 总结提高 1.证明平行关系的方法： (1)证明线线平行的常用方法：
①利用平行公理、即证明两直线同时和第三条直线平行； ②利用平行四边形进行转换； ③利用三角形中位线定理证明；
④利用线面平行、面面平行的性质定理证明、 (2)证明线面平行的常用方法：
①利用线面平行的判定定理、把证明线面平行转化为证明线线平行； ②利用面面平行的性质定理、把证明线面平行转化为证明面面平行、 (3)证明面面平行的方法：
证明面面平行、依据判定定理、只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可、从而将证明面面平行转化为证明线面平行、再转化为证明线线平行、 2、证明空间中垂直关系的方法： (1)证明线线垂直的常用方法
①利用特殊平面图形的性质、如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直； ②利用勾股定理逆定理；