(二)直线与圆锥曲线(2)
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1．(2018·洛阳模拟)已知抛物线C：y＝－x，点A，B在抛物线上，且横坐标分别为－，，22抛物线C上的点P在A，B之间(不包括点A，点B)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. (1)求直线AP的斜率k的取值范围； (2)求|PA|·|PQ|的最大值．
1?9??1?3
解 (1)由题意可知A?－，－?，B?，－?，
4?4??2?2132
设P(xP，－xP)，－
22
12
－xP＋41
所以k＝ ＝－xP＋∈(－1,1)，
12xP＋2故直线AP的斜率k的取值范围是(－1,1)． 11
(2)直线AP：y＝kx＋k－，
2493
直线BQ：x＋ky＋k－＝0，
4211
y＝kx＋k－，??24联立?93
x＋ky＋k－＝0，??42
2
可知，
3－4k－k点Q的横坐标为xQ＝， 22k＋2|PQ|＝1＋k(xQ－xP)
2
k－k1?3－4＋k－?＝1＋k? 22??2k＋2?
2
2
?k－1??1＋k?
＝， 2
1＋k1?2?2
|PA|＝1＋k?xP＋?＝1＋k(1－k)，
2??所以|PA|·|PQ|＝(1－k)(1＋k)， 令f(x)＝(1－x)(1＋x)，－1
则f′(x)＝(1－x)(－2－4x)＝－2(1－x)(2x＋1)，
2
2
3
3
2
1
当－1
21
当－
2
1???1?故f(x)在?－1，－?上单调递增，在?－，1?上单调递减． 2???2?
?1?27
故f(x)max＝f?－?＝，
?2?16
27
即|PA|·|PQ|的最大值为. 16
x2y212
2．(2018·葫芦岛模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦距为2c，离心率为，圆O：x＋
ab2y2＝c2，A1，A2是椭圆的左、右顶点，AB是圆O的任意一条直径，△A1AB面积的最大值为2.
(1)求椭圆C及圆O的方程；
(2)若l为圆O的任意一条切线，l与椭圆C交于两点P，Q，求|PQ|的取值范围． 解 (1)设B点到x轴距离为h， 则SA1AB＝2S1
＝2··|A1O|·h＝a·h， A1OB2
易知当线段AB在y轴时，
hmax＝|BO|＝c，∴Sc1∵e＝＝，
a2
A1AB＝a·c＝2，
∴a＝2c，∴a＝2，c＝1，b＝3，
∴椭圆C的方程为＋＝1，圆O的方程为x＋y＝1.
43(2)①当直线l的斜率不存在时，求得|PQ|＝3；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m， ∵直线为圆的切线， ∴d＝2
x2y2
22
|m|1＋k2
2
＝1，
∴m＝k＋1，
y＝kx＋m，??22
联立?xy＋＝1，??43
2
2
得(4k＋3)x＋8kmx＋4m－12＝0，
2
判别式Δ＝48(3k＋2)>0，
－8kmx＋