坚持实施下去，采取政策上的单一规则。这样在公众的理性预期下，无论是物价水平还是失业率，都不会超出民 众的预期。民众才会相信政府所作出的允诺，也才会使信息不对称对政策的不利影响降到最低。
第四篇 长期经济增长理论
第九章 索洛经济增长模型 1．假设美国是处于平衡增长路径上的索洛经济，为了简单，假定无技术进步
。根据人口学家统计，21 世纪
美国的人口增长将接近于 0，而 20 世纪则大约为 1%，和 20 世纪相比，21 世纪的人口增长率下降会导致何种结
果：
（1）处于平衡增长路径上的每工人平均资本、每工人平均产量和每工人平均消费将发生什么变化？画出经 济向其新平衡增长路径移动的过程中这些变量的路径。
（2）说明人口增长率下降对产量路径（总产量，而非每工人平均产量）的影响。 答：（1）在没有技术进步的情况下，考虑只有劳动和资本两种投入要素的情况下，现在的生产函数可以简化
为： Y ?t ????F ??K ?t ?,L ?t ????。同时假设该生产函数规模报酬不变，定义每个人平均产出 y ??，每个人平均资本
k ?
K L
Y L
，每个人平均消费 c ? ，则可求得此时的密集形式的效用函数： y ? f ?k ? 。根据 K ?t ? ? sY ?t ? ? ? K ?t ? 可得
L
C k ? sf ?k ? ? ?n ? ? ? k 。假设经济在初始时处于平衡增长路径上，即满足 k* ? sf ?k* ? ? ?n ? ? ? k* ? 0 ，如图 9-1 所示，
所形成的稳态时的人均资本为 k* ，当人口增长率由 n 减少为 n 时，形成新的稳态人均资本为 k* 。
1
1
图 9-1 人口增长率降低时的稳态水平 处于平衡增长路径上的每个人平均资本随着人口增长率的降低而增
加，但在长期人均资本趋于稳定；平均产
量；平均消费随着人口增长率的降低而增加，在长期将趋于稳定。经济向其新平衡增长路径移动的过程中这些变 量的路径如图 9-2 所示。
图 9-2 人均资本、人均产出和人均消费的变化路径
*
?Y * ?y* ?L
Y
（2）根据每个人平均产量和总产量之间的关系： y ??可得 ? ? ，在人口增长率没有变化之前，
L Y y L
** * ?L * ?y?Y ?y* ??0 ， ?L* ??n ，所以 ?Y* ? ?y ???L* ??n ，人口增长率变为 n 之后， 1 ??1 ? 1 ??n ??n ，在人口增长率
1 1 y L Y y L Y y L
变化的瞬间，资本增长率不变，这时，人均产出的增长率会逐步往下调，总产出的增长率也逐步往下调，一直调 整到等于 n1 。
2．若一经济中有技术进步但无人口增长，且处于平衡增长路径上。现在假定由于战争导致劳动力数量减少， 而且假定战争没有影响资本存量。
（1）在上升之时，每单位有效劳动的平均产量是上升、下降，还是不变？为什么？
（2）当新工人出现，在每单位有效劳动的平均产量的初始变动（如果有）之后，每单位有效劳动的平均产 量是否会进一步变化？如果会，是上升还是下降？为什么？
（3）一旦经济重新回到平衡增长路径，每单位有效劳动的平均产量是高于、低于还是等于新工人出现前的 水平？为什么？
答：（1）在 t 时刻，工人数量的一次性上升，不改变生产函数的密集形式，也不改变持平投资线，根据 k ???
0
K
，
AL t0 时刻，总资本 K 不发生变化。如图 9-3 所示，由于人口有一个跳升，所以每单位有效劳动的平均资本水平 k 从
Y
k* 下降到 k* ，根据 y ???， t 时刻总产量 Y 不发生改变，由于人口有一个跳升，所以每单位有效劳动的平均产
1 0
AL
出水平 y ??y* 下降到 y 。 1
图 9-3 人口增加时对稳态的影响
（2）当新工人出现，在每单位有效劳动的平均产量的初始变动之后，即在 t0 时刻之后，新的人均资本存量
k1 ??k * ，此时每单位有效劳动平均实际投资大于持平投资，即： sf ?k1 ? ? ? g ? ? ? k ， k ? 0 。这时，经济中的储蓄
投资额足以抵消折旧与技术进步所需的资本额，每单位有效劳动的平均资本额必然上升，即从 k 1 朝着 k* 增进。 同时，伴随着 k 的变化，每单位有效劳动的平均产出也随之上升，即从 y 朝着 y* 增进。
1
（3）当经济重新回到平衡增长路径时，每单位有效劳动的平均产出等于新工人出现前的水平。由于每单位
有效劳动平均实际投资线和持平投资线与工人数量一次性变化前相比，均未发生变化，所以这时每单位有效劳动 的平均资本等于新工人出现前的水平。
3．从马尔萨斯开始，就有人认为：某些生产要素（其中土地等自然资源最受重视）的供给是有限的，最终 必然将使经济增长停滞下来。请在索洛模型的框架下探讨这一观点。设生产函数为。设生产函数为：
?
Y ? K ? ? AL?R1?? ? ? ，其中 R 为土地数量。假定 ? ? 0 ， ? ? 0 且 ? ? ? ? 1 ，生产要素按照 K ?t ? ? sY ?t ? ? ? K ?t ? ，
A ?t ? ? gA?t ? ， L ?t ? ? nL ?t ? 和 R ?t ? ? 0 变动。
（1）该经济是否有唯一且稳定的平衡增长路径？也就是说，该经济是否收敛于这样一种情形：Y 、 K 、 L 、 A 和 R 均以不变（但不必相同）的速率增长？如果是，其增长率各为多少？如果不是，为什么？ （2）根据你的答案，以土地为代表的自然资源存量不变，这一事实是否意味着持续增长是不可能的？请解 释。
答：（1）根据题意，可以得到
R ?t ???t ??K t
g ， L ??n 和 ??0 ，令 g ? ???，根据 K ?t ? ? sY ?t ? ? ? K ?t ? ，则 ??k
A?t ? L ?t ? R ?t ? K ?t ? A ?t ?
有 gk ?
sY ?t ? ????，根据生产函数可得： K ?t ?
Y ?t ??
????g ?????n ??g ??k
Y ?t ?
?
Y ?t ? K ?t ? g????????必然保持稳定。再加之 k ，所以 ? ??只要 保持稳定， K ?t ? Y ?t ? ??gk ??????Y ?t ? K ?t ? K ?t ?
Y ?t ?
.
gk ? ? gk ? ? ? ??? ?n ? g ? ? ?1? ? ? gk ?? 。
这样，可得到两个可能的稳定点： gk ?????和 gk ? ????n ??g ??
1????
。
将 gk ? ? gk ? ? ? ?gk 求一阶导数和二阶导数： ?? ?n ? g ? ? ?1? ? ? gk ?? ，等式两边分别对
?
? ? gk ??
???2 ?1 ??????gk ???????n ??g ???????1?????????gk
? gk ? 2 ? ?g 2
k
? ?2 ?1 ? ? ? ? 0
所以，可以近似推导出 gk 曲线。
如图 9-4 所示，对于 gk ? ?? 来说，在 gk ? ?? 时，gk ? 0 ，在 ???n ??g ????g ? ?? ，g ??0 ，在 g ? ?? 时 g ? 0
????k k k
1
???n ??g ?????n ??g ?????n ??g ??
所以 gk ?????不稳定；对于 ????? g ? ?? ， ??0 ，在 ? g ， g? 0 ，在 ? g 时， gk ? 0 ， g k
kk
k k 1 ??? 1 ???
1
k
??
Y ?t ? ???n ??g ?????n ??g ?? 稳定，所以有且只有一个稳定点， ? ? g ?????n ??g ????。故该经济有唯一且稳定的 所以 ??gkk
1 ??? 1????Y ?t ?
?平衡增长路径，即经济收敛于这样一种情形：Y 、 K 、 L 、 A 和 R 均以不变（但不必相同）的速率增长，此时 Y 的稳定增长率为 ???n ??g ??1 ????
， K 的稳定增长率为 ???n ??g ??1 ????
， L 的增长率为 n ， A 的增长率为 g ， R 的增长率为 0。
??
图 9-4 人均资本变化率曲线
（b）尽管以土地为代表的自然资源存量不变，但持续增长还是可能的。人均产量的增长率为：
??? ?t ?????Y????L ?t ??????n ??g ??????g ???1?????????????
? ??? ??n ??? ??，只要上式大于 0，就能实现就实现经济的持续增长。虽然土地存量保 ??Y ?t ???1????1??? ? ????????
?? L ?t ????
.
??
持不变，但只要技术增长率 g 足够快，那么经济仍然可以持续增长，因为随着技术不断进步，土地要素在经济增
长中的重要性不断下降。
4．假定生产函数为柯布-道格拉斯函数。
（1）将 k??、 y??和 c??表示为模型的参数 s 、 n 、 ??、 g 和 ??的函数。
（2） k 的黄金律值是多少？
（3）为得到黄金律资本存量，所需的储蓄率是多少？
答：（1）柯布-道格拉斯的生产函数形式为：Y ? K ? ? AL?1??
，两边同除以 AL 得生产函数的密集形式：y ? k? ，
对于该生产函数 y ? f ?k ? 而言， k ? sf ?k ? ? ?n ? g ? ? ? k ，可得 k ? sk? ? ?n ? g ? ? ? k ，在平衡增长路径上，每单位 有效劳动的平均实际投资等于每单位有效劳动的平均持平投资，每单位有效劳动的平均资本维持不变，每单位有
??1 ? s * ? s ?1????1???效的平均产出维持不变，则 k* ? 0 即： sk*? ? ?n ? g ? ? ? k* ，可得 k* ? ? ??， y ??? ? 。
??n ??g ????????n ??g ??????
?
?
? s ?1????又因为 c ???1??s ??y ，所以 c???1 ??s ??。
? ????n ??g ??????
*
??
（2）黄金律为每个人有效劳动平均消费最大点，即 *?c
?k
??0 。在平衡增长路径上，每单位有效劳动平均消费
额用每单位有效劳动平均产出额与每单位有效劳动平均持平投资额的差值得到，即 c* ? f ?k* ? ? ?n ? g ? ? ? k* 。于
是， *
?c
?k
??0 就可以转化为：
f ?k* ? ?n ? g ? ? ??
??