现代数值计算方法—肖筱南

现代数值计算方法习题答案

习 题 一

1、解:根据绝对误差限不超过末位数的半个单位,相对误差限为绝对误差限除

以有效数字本身,有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此

49×10

-2

:E = 0.005; Er = 0.0102; 2位有效数字.

0.0490 :E = 0.00005;Er = 0.00102; 3位有效数字. 490.00 :E = 0.005; Er = 0.0000102;5位有效数字. 2、解:

22 = 3.1428 …… , ? = 3.1415 …… , 7E0.0013 = = 0.00041. 3.143.14取它们的相同部分3.14,故有3位有效数字.

E = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ;Er = 3、解:101的近似值的首位非0数字?1 = 1,因此有 |Er*(x)|?n*-411, 解之得n > = 5,所以 n = 5 . ?10?(n?1) < = × 10

2?12111*n?11*n?1*4、证:E(x)?(x)E(x)?(x)(x?x*)

nn Er(x)?n*E(x)nn*x*1(x)?n1?1*nn(x?x*)x*1x?x*1*??E(x) r*nxn5、解:(1)因为20?4.4721…… ,

又E(x*)?|x?x*| = |20?4.47| = 0.0021 < 0.01, 所以 x*? 4.47.

(2)20的近似值的首位非0数字?1 = 4,因此有 |Er*(x)|?1?10?(n?1) < = 0.01 , 解之得n > = 3 .所以,x*? 4.47. 2?46、解:设正方形的边长为x,则其面积为y?x2,由题设知x的近似值为x*= 10

cm .

记y为y的近似值,则

E(y*)?2x*(x?x*)?20(x?x*)?20E(x*) < = 0.1,

* 1

所以E(x*) < = 0.005 cm . 7、解:因为E(xn)?nxn?1(x?x*),

E(xn)x?x*?n?nEr(x)?0.01n. 所以Er(x)?nxxn8、解:

9、证:E(S)?S?S*?gt(t?t*)?gtE(t)

S?S*gt(t?t*)2E(t) Er(S)? 由上述两式易知,结论. ??2Stgt/210、解:代入求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.

11、解:基本原则为:因式分解,分母分子有理化、三角函数恒等变形…… (1)通分;(2)分子有理化;(3)三角函数恒等变形.

1**?1.41,所以|x0?x012、解: 因为x0?2,x0| < = ?10?2??

2***?1| = 10|x0?x0 于是有 |x1?x1| = |10x0?1?10x0| < =10?

***?1| = 10|x1?x1|x2?x2| = |10x1?1?10x1| < =102?

* 类推有 |x10?x10| < =1010??1?108 2 即计算到x10,其误差限为1010?,亦即若在x0处有误差限为?,则x10的

误差将扩大1010倍,可见这个计算过程是不稳定的.

习 题 二

1、 解:只用一种方法.

(1)方程组的增广矩阵为:

?2?1?1?4??2?1?1?4??2?1?1?4?? → ?011?1?10? → ?011?1?10? 34?2?11 ???????????0?111?10???001?1???3?24?11?? → x1?3 , x2?1 , x3?1 . (2)方程组的增广矩阵为:

2

?3?14?7??3?14?7??3?14?7?? → ?05?2?4? → ?05?2?4? ?12?2??1 ??????????2?2?2?1??2?3?2?0???01??00?→ x1?2 , x2?1 , x3?1/2 . (3)适用于计算机编程计算.

2、 解:第一步:计算U的第一行,L的第一列,得

u11?6 u12?2 u13?1 u14??1

l21?a21/u11?1/3 l31?a31/u11?1/6

l41?a41/u11??1/6

第二步:计算U的第二行,L的第二列,得

u22?a22?l21u12?10/3 u23?a23?l21u13?2/3 u24?a24?l21u14?1/3 l32?(a32?l31u12)/u22?1/5

l42?(a42?l41u12)/u22?1/10

第三步:计算U的第三行,L的第三列,得

u33?a33?l31u13?l32u23?37/10 u34?a34?l31u14?l32u24??9/10 l43?(a43?l41u13?l42u23)/u33??9/37

第四步:计算U的第四行,得

u44?a44?l41u14?l42u24?l43u34??955/370

?6?2 从而, ??1???100?1?1/310?=

?1/61/51???1/61/10?9/37?1?410?? 14?1??0?13?0?0??0??1?21?1?6??010/32/3?1/3?? ?0037/10?9/10???000?955/370??21 3

由LY?b , 解得Y =(6,-3,23/5,-955/370)T. 由UX?Y , 解得X=(1,-1,1,-1)T.

3、(1)解:首先检验系数矩阵的对称正定性,这可以通过计算其各阶顺序主子

式是否大于零来判断.

a11= 3 > 0,

32321= 2 > 0, 220 = 4 > 0,所以系数矩阵

22103是对称正定的.记系数矩阵为A,则平方根法可按如下三步进行:

第一步 分解:A = L L. 由公式计算出矩阵的各元素:l11?3 l21?236 l22? 33Tl31?63 l32?? l33?2

33??3?23 因此, L =??3?3??30636?3?0??0?. ??2??536,,2)T. 33第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = (

第三步 求解方程组LTX = Y . 解得X =(0,2,1)T.

(2)解:首先检验系数矩阵的对称正定性,这可以通过计算其各阶顺序主子式

是否大于零来判断.

a11= 3 > 0,

32323= 2 > 0, 220 = 6 > 0,所以系数矩阵是对

223012称正定的.记系数矩阵为A,则平方根法可按如下三步进行: 第一步 分解:A = L LT. 由公式计算出矩阵的各元素:

l11?3 l21?

4

233 l22?6 3

l31?3 l32??6 l33?3

?3?23因此, L =??3?3?063?60??0? . ?3??5363T ,?,). 363第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = (

第三步 求解方程组LTX = Y . 解得X = (1,4、解: 对i?1 , d1?a11?2 ;

11,)T . 2315 对i?2 , t21??1 , l21?? , d2?? ;

2271727对i?3 , t31?1 , t32? ,l31? , l32?? ,d3? .

2255??2?1 所以数组A的形式为: A????2?1?2?05?27?5?0??0? ?27??5?69T ). 510723 求解方程组DLTX = Y . 解得X = (,,)T .

999 求解方程组LY = b . 解得Y = (4,7,

?10000??u1?l??010002???5、解:(1)设A = LU = ?0l3100? ?0?00l10??04?????000l51????06u2060u3000000?00??60? u46??0u5??15565 , u2? , l3? , u3? , 51919191921165665 , u4? , l5? , u5? . l4?6565211211111212T 求解方程组LY = d. 解得Y = (1,?,,?,).

5196521115091145703395212T 求解方程组UX = Y. 解得X = (,,,?,).

665665665665665 计算各元素得: u1?5 , l2? 5

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