现代数值计算方法习题答案
习 题 一
1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除
以有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此
49×10
-2
：E = 0.005； Er = 0.0102； 2位有效数字.
0.0490 ：E = 0.00005；Er = 0.00102； 3位有效数字. 490.00 ：E = 0.005； Er = 0.0000102；5位有效数字. 2、解：
22 = 3.1428 …… ， ? = 3.1415 …… ， 7E0.0013 = = 0.00041. 3.143.14取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字.
E = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ；Er = 3、解：101的近似值的首位非0数字?1 = 1,因此有 |Er*(x)|?n*-411, 解之得n > = 5，所以 n = 5 . ?10?(n?1) < = × 10
2?12111*n?11*n?1*4、证：E(x)?(x)E(x)?(x)(x?x*)
nn Er(x)?n*E(x)nn*x*1(x)?n1?1*nn(x?x*)x*1x?x*1*??E(x) r*nxn5、解：(1)因为20?4.4721…… ，
又E(x*)?|x?x*| = |20?4.47| = 0.0021 < 0.01, 所以 x*? 4.47.
(2)20的近似值的首位非0数字?1 = 4,因此有 |Er*(x)|?1?10?(n?1) < = 0.01 , 解之得n > = 3 .所以，x*? 4.47. 2?46、解：设正方形的边长为x,则其面积为y?x2，由题设知x的近似值为x*= 10
cm .
记y为y的近似值，则
E(y*)?2x*(x?x*)?20(x?x*)?20E(x*) < = 0.1，
* 1
所以E(x*) < = 0.005 cm . 7、解：因为E(xn)?nxn?1(x?x*),
E(xn)x?x*?n?nEr(x)?0.01n. 所以Er(x)?nxxn8、解：
9、证：E(S)?S?S*?gt(t?t*)?gtE(t)
S?S*gt(t?t*)2E(t) Er(S)? 由上述两式易知，结论. ??2Stgt/210、解：代入求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.
11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形…… （1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形.
1**?1.41,所以|x0?x012、解： 因为x0?2,x0| < = ?10?2??
2***?1| = 10|x0?x0 于是有 |x1?x1| = |10x0?1?10x0| < =10?
***?1| = 10|x1?x1|x2?x2| = |10x1?1?10x1| < =102?
* 类推有 |x10?x10| < =1010??1?108 2 即计算到x10，其误差限为1010?，亦即若在x0处有误差限为?，则x10的
误差将扩大1010倍，可见这个计算过程是不稳定的.
习 题 二
1、 解：只用一种方法.
（1）方程组的增广矩阵为：
?2?1?1?4??2?1?1?4??2?1?1?4?? → ?011?1?10? → ?011?1?10? 34?2?11 ???????????0?111?10???001?1???3?24?11?? → x1?3 , x2?1 , x3?1 . （2）方程组的增广矩阵为：
2
?3?14?7??3?14?7??3?14?7?? → ?05?2?4? → ?05?2?4? ?12?2??1 ??????????2?2?2?1??2?3?2?0???01??00?→ x1?2 , x2?1 , x3?1/2 . （3）适用于计算机编程计算.
2、 解：第一步：计算U的第一行，L的第一列，得
u11?6 u12?2 u13?1 u14??1
l21?a21/u11?1/3 l31?a31/u11?1/6
l41?a41/u11??1/6
第二步：计算U的第二行，L的第二列，得
u22?a22?l21u12?10/3 u23?a23?l21u13?2/3 u24?a24?l21u14?1/3 l32?(a32?l31u12)/u22?1/5
l42?(a42?l41u12)/u22?1/10
第三步：计算U的第三行，L的第三列，得
u33?a33?l31u13?l32u23?37/10 u34?a34?l31u14?l32u24??9/10 l43?(a43?l41u13?l42u23)/u33??9/37
第四步：计算U的第四行，得
u44?a44?l41u14?l42u24?l43u34??955/370
?6?2 从而， ??1???100?1?1/310?=
?1/61/51???1/61/10?9/37?1?410?? 14?1??0?13?0?0??0??1?21?1?6??010/32/3?1/3?? ?0037/10?9/10???000?955/370??21 3
由LY?b , 解得Y =（6，-3，23/5，－955/370）T. 由UX?Y , 解得X=（1，-1，1，－1）T.
3、（1）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子
式是否大于零来判断.
a11＝ 3 > 0,
32321= 2 > 0, 220 = 4 > 0,所以系数矩阵
22103是对称正定的.记系数矩阵为A，则平方根法可按如下三步进行：
第一步 分解：A = L L. 由公式计算出矩阵的各元素：l11?3 l21?236 l22? 33Tl31?63 l32?? l33?2
33??3?23 因此， L ＝??3?3??30636?3?0??0?. ??2??536，，2）T. 33第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （
第三步 求解方程组LTX = Y . 解得X =（0，2，1）T.
（2）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式
是否大于零来判断.
a11＝ 3 > 0,
32323= 2 > 0, 220 = 6 > 0,所以系数矩阵是对
223012称正定的.记系数矩阵为A，则平方根法可按如下三步进行： 第一步 分解：A = L LT. 由公式计算出矩阵的各元素：
l11?3 l21?
4
233 l22?6 3
l31?3 l32??6 l33?3
?3?23因此， L ＝??3?3?063?60??0? . ?3??5363T ，?，）. 363第二步 求解方程组LY = b . 解得Y = （
第三步 求解方程组LTX = Y . 解得X = （1，4、解： 对i?1 , d1?a11?2 ；
11，）T . 2315 对i?2 , t21??1 , l21?? , d2?? ；
2271727对i?3 , t31?1 , t32? ,l31? , l32?? ,d3? .
2255??2?1 所以数组A的形式为： A????2?1?2?05?27?5?0??0? ?27??5?69T ）. 510723 求解方程组DLTX = Y . 解得X = （，，）T .
999 求解方程组LY = b . 解得Y = （4，7，
?10000??u1?l??010002???5、解：（1）设A = LU = ?0l3100? ?0?00l10??04?????000l51????06u2060u3000000?00??60? u46??0u5??15565 , u2? , l3? , u3? , 51919191921165665 , u4? , l5? , u5? . l4?6565211211111212T 求解方程组LY = d. 解得Y = （1，?，，?，）.
5196521115091145703395212T 求解方程组UX = Y. 解得X = （，，，?，）.
665665665665665 计算各元素得： u1?5 , l2? 5