第十章 静电场中的导体和电介质
一 选择题
1. 半径为R的导体球原不带电，今在距球心为a处放一点电荷q ( a＞R)。设无限远处的电势为零，则导体球的电势为 ( )
qqRqqa A . B . C . D . 224π?0a4π?(a?R)4π?0a4π?o(a?R)0解：导体球处于静电平衡，球心处的电势即为导体球电势，感应电荷?q?分布在导体球表面上，且
?q??(?q?)?0，它们在球心处的电势
dq?1 V????dq??0 ??q?4π?R?q?4π?R00q点电荷q在球心处的电势为 V?
4π?0aq据电势叠加原理，球心处的电势V0?V?V??。
4π?0a所以选（A）
2. 已知厚度为d的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为 ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为 ( )
?2??? d A . E? B . E? C . E= D . E= 2?0?0ε02ε0 解：在导体平板两表面外侧取两对称平面，做侧面垂直平板d 的高斯面，根据高斯定理，考虑到两对称平面电场强度相等，且高斯面内电荷为2? S，可得 E??。 ?0选择题2图
所以选（C）
3. 如图，一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R，在腔内离球心的距离为 d处(d qA. 0 B. 4π?0dR +q ．qq11o d C. D. (?)4π?0R4π?0dR解：球壳内表面上的感应电荷为-q，球壳外表面上的电 q?q选择题3图 ?)。 荷为零，所以有V0?4π?0d4π?0R所以选（ D ） 4. 半径分别为R和r的两个金属球，相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电，在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比R /r为 ( ) 2 2 2 2 A． R／r B. R/ rC. r/ RD. r / R 解：两球相连，当静电平衡时，两球带电量分别为Q、q，因两球相距很远，所以电荷在两球上均匀分布，且两球电势相等，取无穷远为电势零点，则 QqQR? 即 ? 4π?0R4π?0rqr?RQ/4?R2r?? ?rq/4? r2R所以选（D） 5. 一导体球外充满相对介质电常数为εr的均匀电介质，若测得导体表面附近场强为E，则导体球面上的自由电荷面密度为 ( ) A. ε0 E B. ε0εr E C. εr E D. (ε0εr ε0) E 解：根据有介质情况下的高斯定理??D?dS??q，取导体球面为高斯面，则有 D?S???S，即??D??0?rE。 所以选（B） 6. 一空气平行板电容器，充电后测得板间电场强度为E0，现断开电源，注满相对介质常数为εr的煤油，待稳定后，煤油中的极化强度的大小应是（ ） εε(ε?1)(ε?1)A . 0E0 B . 0rE0 C . rE0 D . ε0(εr?1)E0 εrεrεr解：断开电源后，不管是否注入电介质，极板间的自由电荷q不变，D0=D 即 ?0E0??0?rE 得到 E?E0/?r 又 D??0E?P P?D??0E??0E0??0E0?0(?r?1)?E0 ?r?r所以选（B） 7. 两个半径相同的金属球，一为空心，一为实心，两者的电容值相比较 ( ) A. 实心球电容值大 B. 实心球电容值小 C. 两球电容量值相等 D. 大小关系无法确定 解：孤立导体球电容C?4π?0R，与导体球是否为空心或者实心无关。 所以选（C） 8. 金属球A与同心球壳B组成电容器，球A上带电荷q，壳B上带电荷Q，测得球和壳间的电势差为UAB，则该电容器的电容值为（ ） A. q/UAB B. Q/UAB C. (q+Q)/ UAB D. (q+Q)/(2 UAB) 解：根据电容的定义，应选（A）。 9. 一空气平行板电容器，极板间距为d ，电容为c。 若在两板中间平行地插入一块厚度为d / 3的金属板，则其电容值变为 ( ) A. C B. ２C／３ C. 3 C／２ D. ２C d /3 d 解：平行板电容器插入的金属板中的场强为零，极板上电荷量不变，此时两极板间的电势差变为： 选择题9题 ?d2? d U?Ed?? (d?)??033?0其电容值变为： C??Q? S3?0S3???C U2? d2d23?0所以选（C） 10. 一平板电容器充电后保持与电源连接，若改变两极板间的距离，则下述物理量中哪个保持不变？( ) A. 电容器的电容量 B. 两极板间的场强 C. 电容器储存的能量 D. 两极板间的电势差 ? S解：平板电容器充电后保持与电源连接，则两极板间的电势差不变；平行板电容器的电容C?， dU改变两极板间的距离d，则电容C发生变化；两极板间的场强E?，U不变，d变化，则场强发生变化； d1电容器储存的能量We?CU2，U不变，d变化，导致电容C发生变化，则电容器储存的能量也要发生变 2化。 所以选（D） 二 填空题 1. 一任意形状的带电导体，其电荷面密度分布为(x、y、z)，则在导体表面外附近任意点处的电场强度的大小E(x、y、z) = ，其方向 。 解：E(x、y、z)= (x、y、z)/ε0，其方向与导体表面垂直朝外(>0)或与导体表面垂直朝里(σ<0)。 2. 如图所示，一无限大均匀带电平面附近设置一与之平行的无限大平面导体板。已知带电面的电荷面密度为 ，则导体板两侧面的感应电荷密度分别为1 和2 = 。 1 解：由静电平衡条件和电荷守恒定律可得： ????1?2?0；?1???2。由此可解得：2?02?02?0。 22填充题2图 3. 半径为R1和R2的两个同轴金属圆筒(R1< R2)，其 间充满着相对介电常数为εr的均匀介质，设两筒上单位长度带电量分别为 和 ，则介质中的电位移矢量的大小D= ，电场强度的大小E= 。 解：根据有介质情况下的高斯定理，选同轴圆柱面为高斯面，则有D= /（2πr）， 电场强度大小E= D/εrε0= /（2πεrε0 r）。 2 4. 电容值为100pF的平板电容器与50V电压的电源相接，若平板的面积为100cm，其中充满εr=6的云母片，则云母中的电场强度E= ；金属板上的自由电荷Q = ；介质表面上的极化电荷Q' = 。 QDCU解：极板间电场强度E????9.42?103V/m，两极板上自由电荷 ?0?r?0?rS?0?rSQ?Q?Q?CU?5?10?9C，由高斯定理，当有介质时，对平板电容器可有E?S?， Q为自由电荷，Q'?1??? ；?2???0为介质表面上的极化电荷，代入已知数据可求得Q' = ×10C。 5. 平行板电容器的两极板A、B的面积均为S，相距为d，在两板中间左右两半分别插入相对介电常数为εr1和εr2的电介质，则电容器的电容为 。 解：该电容器相当于是两个面积为S/2的电容器的并联，电容值分别为： 11?0?r2S?0?r1S2， 2，C?C1?2dd?S?C?C1?C2?0(?r1??r2) 2d5 6. 半径为R的金属球A，接电源充电后断开电源，这时它储存的电场能量为5×10J,今将该球与远处一个半径是R的导体球B用细导线连接，则A球储存的电场能量变为 。 1Q2解：金属球A原先储存的能量W??5?10?5J,当它与同样的金属球B连接，则金属球A上的电 2C1(Q/2)2荷变为原来的1/2，则能量W???1.25?10?5J 2C7. 三个完全相同的金属球A、B、C ，其中A球带电量为Q，而B、C球均不带电，先使A球同B球接触，分开后A球再和C球接触，最后三个球分别孤立地放置，则A 、B两球所储存的电场能量WeA 、WeB ，与A球原先所储存的电场能量We0比较，WeA是We0的 倍，WeB是We0的 倍。 1Q2解：初始A球的电场能量We0?，先使A球同B球接触，则 2C1(Q/2)211?We0， QA?QB?Q，WeB?2C42分开后，A球再和C球接触，则 -9