2012年全国各省市高考好题集锦（小题）
1、已知f(x)?1，各项均为正数的数列?an?满足a1?1，an?2?f(an)，若a2010?a2012，则a20?a111?x135?3 26的值是 （上海文14）【解析】由题意得，a3?128，a5?，…，a11?， 2313?1?5，易得a2010=a2008=…=a24=a22=a24=a20.， 2∵a2010?a2012，且an.＞0，∴a2010?∴a20.+a11=
?1?583?135+=。 226132、若Sn?sin?7?sin2?n??（n?N），则在S1,S2,...,S100中，正数的个数（ C ） ?...?sin77A、16 B、72 C、86 D、100（上海文18）
3、如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC?2，若AD?2c，且
（上海理AB?BD?AC?CD?2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是 。14）
2ca2?c2?1 3
【解析】过点A做AE⊥BC，垂足为E，连接DE，由AD⊥BC可知，BC⊥平面ADE， 所以V?VB?ADE?VC?ADE?12SADE?BC=SADE， 33当AB=BD=AC=DC=a时，四面体ABCD的体积最大。
过E做EF⊥DA，垂足为点F，已知EA=ED，所以△ADE为等腰三角形，所以点E为AD的中点，又
AE2?AB2?BE2?a2?1，∴EF=AE2?AF2?a2?c2?1，
1AD?EF=ca2?c2?1， 22222∴四面体ABCD体积的最大值Vmax?SADE=ca?c?1。
33∴SADE=
4、设an?
1n?，Sn?a1?a2???an，在S1,S2,?,S100中，正数的个数是（ D ） sinn25A．25 B．50 C．75 D．100（上海理18）
5、已知f(x)?m(x?2m)(x?m?3)，g(x)?2?2。若?x?R，f(x)?0或g(x)?0，则m的取值范围是_________。（北京文14）（?4?m?0）
【解析】首先看g(x)?2?2没有参数，从g(x)?2?2入手，显然x?1时，g(x)?0；x?1时，
xxxg(x)?0。而对?x?R，f(x)?0或g(x)?0成立即可，故只要?x?1，?x?R，f(x)?0(*)恒成立
即可．①当m?0时，f(x)?0，不符合(*)式，舍去；②当m?0时，由f(x)?m(x?2m)(x?m?3)<0得?m?3?x?2m，并不对?x?1成立，舍去；③当m?0时，由f(x)?m(x?2m)(x?m?3)<0，注意?2m?0，x?1，故x?2m?0，所以x?m?3?0，即m??(x?3)，又x?1，故?(x?3)?(??,4]，所以m??4，又m?0，故m?(?4,0)，综上，m的取值范围是(?4,0)。
6、设函数f(x)?(x?3)?x?1，{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)?f(a2)?????f(a7)?14，则（四川文12） a1?a2?????a7?（ D ）
A、0 B、7 C、14 D、21
333【解析】f(a1)?f(a2)???f(a7)?(a1?3)?a1?1?(a2?3)?a2?1??(a7?3)
3?a7?1?14，即(a1?3)3?a1?3?(a2?3)3?a2?3??(a7?3)3?a7?3?0，根据等差数列的性质得(a4?3?3d)3?(a4?3?2d)3???(a4?3?3d)3?7(a4?3)?0，即
(a4?3?3d)3?(a4?3?3d)3?(a4?3?2d)3?(a4?3?2d)3???(a4?3)3?7(a4?3)?0?2(a4?3)((a4?3)2?27d2)?2(a4?3)((a4?3)2?12d2)?2(a4?3)((a4?3)2?3d2)?(a4?3)3?7(a4?3)?0，即(a4?3)(7(a4?3)2?84d2?7)?0，?a4?3?0,即a4?3，?a1?a2???a7?7a4?21，故选D.
x2y2?1(a为定值，且a?5)的的左焦点为F，直线x?m与椭圆相交于点A、B，?FAB7、椭圆2?a52的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。（四川文15）
3
8、设a,b为正实数，现有下列命题：（1、4）
①若a?b?1，则a?b?1；②若
2211??1，则a?b?1； ba33③若|a?b|?1，则|a?b|?1；④若|a?b|?1，则|a?b|?1。
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号） （四川文16）
?9、设函数f(x)?2x?cosx，{an}是公差为的
8等差数列，f(a1)?f(a2)?????f(a5)?5?，则
[f(a3)]2?a1a5?（ D ） （四川理12）？
A、0 B、
12113? C、?2 D、?2 16816【解析】f(a1)?f(a2)?????f(a5)?(2a1?cosa1)?(2a2?cosa2)?????(2a5?cosa5)?5?，即
2(a1?a2?????a5)?(cosa1?cosa2?????cosa5)?5?，而{an}是公差为
?的等差数列，代入82(a1?a2?????a5)?(cosa1?cosa2?????cosa5)?5?，即10a3?[cos(a3?)
4??cos(a3?)?cosa3?cos(a3?)?cos(a3?)]?5?，Q(2cos?2cos?1)cosa3不是?的倍
88448数，?10a3?5?,?a3???????2.?[f(a3)]?a1a5?(2?2??0)2?(?)(?)
22424????13?2?，故选D. 16
10、记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]?2，[1.5]?1，[?0.3]??1。设a为正整数，数列{xn}xn?[满足x1?a，xn?1?[a]xn2](n?N?)，现有下列命题：
①当a?5时，数列{xn}的前3项依次为5,3,2；②对数列{xn}都存在正整数k，当n?k时总有xn?xk；③当n?1时，xn?a?1；④对某个正整数k，若xk?1?xk，则xn?[a]。
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号） ？ （四川理16）（1、3、4）
11、已知函数y?x2?1x?1的图像与函数y?kx的图像恰有两个交点，则实数k的取值范围是 .（天
津文14）（0?k?1,1?k?2)
12、设m，n?R，若直线(m?1)x+(n?1)y?2=0与圆(x?1)+(y?1)=1相切，则m+n的取值范围是 D （天津理8）
（A）[1?3,1+3] （Ｂ）(??,1?3]U[1+3,+?)
22（Ｃ）[2?22,2+22] （Ｄ）(??,2?22]U[2+22,+?)
|x2?1|13、已知函数y=的图象与函数y=kx?2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围
x?1是 . 14．(0,1)U(1,4)（天津理14）
14、设?ABC的内角A,B,C所对的边为a,b,c；则下列命题正确的是_____ ①若ab?c；则C?3332?3 ②若a?b?2c；则C??3
③若a?b?c；则C?22222?2 ④若(a?b)c?2ab；则C??2
⑤若(a?b)c?2ab；则C?【解析】正确的是_____①②③
2?3 （安徽理15）
a2?b2?c22ab?ab1????C? ①ab?c?cosC?2ab2ab23a2?b2?c24(a2?b2)?(a?b)21????C? ②a?b?2c?cosC?2ab8ab23 ③当C??2时，c?a?b?c?ac?bc?a?b与a?b?c矛盾
22232233333 ④取a?b?2,c?1满足(a?b)c?2ab得：C?22222?2
⑤取a?b?2,c?1满足(a?b)c?2ab得：C?15、函数y??3
cos6x的图象大致为 （山东文10） （D）
2x?2?x
16、设函数f(x)?1，g(x)??x2?bx.若y?f(x)的图象与y?g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点xA(x1,y1),B(x2,y2)，则下列判断正确的是 （山东文12）（B）
(A)x1?x2?0,y1?y2?0 (B)x1?x2?0,y1?y2?0 (C)x1?x2?0,y1?y2?0 (D)x1?x2?0,y1?y2?0
解：设F(x)?x3?bx2?1，则方程F(x)?0与f(x)?g(x)同解，故其有且仅有两个不同零点x1,x2.由
222F?(x)?0得x?0或x?b.这样，必须且只须F(0)?0或F(b)?0，因为F(0)?1，故必有F(b)?0333由此得b?故x1??3322.不妨设x1?x2，则x2?b?32.所以F(x)?(x?x1)(x?32)2，比较系数得?x134?1，2311x?x1312.x1?x2?32?0，由此知y1?y2???12?0，故答案为B.
x1x2x1x222
17、定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）2，当-1≤x＜3时，f（x）=x。则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）= （A）335（B）338（C）1678（D）2012
解析：f(?3)??1,f(?2)?0,f(?1)??1,f(0)?0,f(1)?1,f(2)?2，而函数的周期为6，
f(1)?f(2)???f(2012)?335(?1?0?1?0?1?2)?f(1)?f(2)?335?3?338.
答案应选B （山东理8） 17、如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在（0,1），此时圆上一点P的位置在（0,0），圆在x轴上沿正向滚动。当圆滚动到圆心位于（2,1）时，解析：根据题意可知圆滚动了2单位个弧长，点P旋转 了
的坐标为______________。
2?2弧度，此时点P的坐标为 12yP?1?sin(2?)?1?cos2,.
2OP?(2?sin2,1?cos2)xP?2?cos(2??C D )?2?sin2,?（山东理16）
18、对任意两个非零的平面向量α和β，定义?o?? ???。若平面向量a,b满足|a|?|b|?0，a与b的???夹角??(0,n)，且aob和boa都在集合{|n?Z}中，则aob= （B） 42135A． B. 1 C. D.
222【解析】：因为aob??b?a|b|a?b|a|2?cos??cos??1 ，boa??cos??cos??a?a|a|b?b|b|2n2且aob和boa都在集合{|n?Z}中 所以，boa?|b|1|b|1|a|cos??，?cos??2cos2??2 ，所以aob?|a|2|a|2cos?|b|