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允许缺货下，商品变质率与时间相关的库存策略
作者：李丹 刘翼
来源：《消费导刊》2015年第07期
摘要：在允许缺货、瞬时到货，考虑变质物品的库存损耗的情况下，假设变质率与时间及库存量均有关，以系统的平均费用最小建立库存系统的EOQ模型。给出了模型的最优解具体算法，并通过实际的算例验证了模型和算法的正确性。本文给出了一般情况下的变质物品的库存模型，为变质品的仓储提供了依据。 关键词：缺货 变质 EOQ 最优策略 引言
实际物品仓储中，很多物品都会发生一定程度的损耗。如，农产品类生鲜物品的变质，白酒的挥发，水果的腐烂等，这些物品的损耗与众多因素有关。目前，许多学者在经典EOQ模型的基础上对变质性物品的库存控制进行了大量的研究。1957年，变质产品库存控制理论的鼻祖Whitin，他考虑了在特定的存储期内商品的变质问题。Ghare和Schrader则是最先提出了变质率服从指数分布的库存模型。在这之后，Dave U和Patel LK、罗兵、周永务等考虑了变质率和需求率均为常数，与时间无关情况下的变质物品库存。在现实生活中，如香蕉的腐烂，最开始只是小面积的，随着时间的延长，就会大面积的腐烂，即库存的损耗量不仅与库存量有关，并且与时间的长短有关，Manna、郭强等以变质率为时间的线性函数为条件建立了变质物品的EOQ模型。Covert等研究了变质率随时间变化并服从两参数的Weibull函数的库存控制模型。Philip用变质率服从三参数的Weibull函数探讨了变质性物品的库存模型。以上研究都是考虑单个因素影响变质率下对库存进行控制，本文在郭强的基础上，考虑允许缺货、瞬时到货的情况，建立了变质率与时间和库存量均有关系的库存控制模型。 一、模型符号说明和假设条件
（1）表示单位时间物品从仓库中被取出的数量，为单位时间需求量，时刻物品的库存量为。
（2）为物品的变质率，时间的库存损耗量为。 （3）为每次订货的固定费用。
（4）为单位物品单位时间的库存保管费，物品的单价。 （5）为相邻订货时间即订货周期。
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（6）为每周期最大的实际库存量。
（7）允许短缺并且全部延期供给，为每周期的短缺量，为单位物品单位时间的缺货成本。
（8）表示每周期内库存水平降为零的时刻，即开始缺货的时刻） （9）表示每周期的订货量。 二、模型的建立
考虑一个周期内，从仓库中取出的数量与需求量存在如下关系： 两阶段的库存变化率 且，实际最大库存量 每周期末的短缺量
考虑短缺量完全延期供给，则每周期内的订货量为Q+S。 一个周期内的物品购入费： 一个周期内库存保管费为： 一个周期内的延期短缺费为：
可得，库存系统单位时间的平均总费用为：（订购费+购入费+保管费+短缺费） 三、模型的求解与最优 定理1.是变量和的凸函数。 证明：将分别关于和求二阶偏导数，可得： 得： 利用泰勒公式
则的海森矩阵对于任意是正定的，从而为凸函数。 定理1及极值的必要条件，函数最小值点有： 即
由（1）中第一个方程得：将（2）带入（1）中的第二个方程，得： 令等于（3）的左边，即
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可见，是的单调增函数，
从而当tl>0时，我们可以判断有唯一解。
这样我们可以利用任何一种以为搜索方法解出式（3）的最优值，再由式（2）得最优订货周期T*，进而求得最大库存量Q*和最优订货量。 四、近似值求解及误差分析
当很小时，我们可以通过下面方法获得函数的近似最优值。，带入（1）得： 显而易见，与传统的EOQ模型结果基本相近，从而验证的模型的正确性。
本文给出了在允许缺货、瞬时到货的情况下，考虑变质率与时间及库存量均有关，以系统平均费用最少为目的，建立变质性物品的EOQ模型并尝试着给出了其最优解。本文讨论中还存在一些不足，对一些计算进行了近似替代，得出的结果为近似值。