§4.5 多边形与平行四边形
一、选择题
1．(原创题)如果将n边形的边数增加一倍，那么它的内角和增加 A．180°
B．(180n)°
C．360°
( )
D．(360n)°
解析 (2n－2)·180°－(n－2)·180°＝(180n)°.故选B. 答案 B
2．(原创题)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是 A．7
B．10
C．11
D．12
( )
解析 ∵AC的垂直平分线交AD于E， ∴AE＝EC.∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB＝4，AD＝BC＝6，
∴△CDE的周长为：EC＋CD＋ED＝AD＋CD＝6＋4＝10. 答案 B
3．(原创题)若以A(－0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在 A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
( )
解析 根据题意画出图形，如图所示：分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，则第四个顶点不可能落在第三象限． 答案 C
4．(改编题)如图，在?ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是( )
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A．3 cm＜OA＜5 cm B．2 cm＜OA＜8 cm C．1 cm＜OA＜4 cm D．3 cm＜OA＜8 cm
解析 因为平行四边形的对角线互相平分，即AC＝2OA.在△ABC中，BC－AB＜AC＜AB＋BC，所以2 cm＜AC＜8 cm，所以1 cm＜OA＜4 cm.故选C. 答案 C
5．(原创题)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝12，BD＝8，CD＝6，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是( ) A．11 C．16
B．13 D．22
解析 ∵BD⊥CD，BD＝8，CD＝6，∴BC＝10.根据三角形的中位
11
线定理可知，EF＝GH＝2BC＝5，EH＝FG＝2AD＝6，∴四边形EFGH的周长为EF＋GH＋EH＋FG＝5＋5＋6＋6＝22.故选D. 答案 D
6．(原创题)如图所示，已知等边△ABC的边长为1，按图中所示的规律，在同一平面内用2 014个这样的三角形拼接而成的四边形的周长是
( )
A．2 015
B．2 016
C．2 017
D．2 018
解析 观察图形可知，2 014个等边三角形组成的四边形是一个平行四边形，这个平行四边形的边长分别是1和1 007，所以这个平行四边形的周长是(1＋1 007)×2＝2 016.故选B.
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答案 B
二、填空题
7．(改编题)一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是________． 解析 根据题意，得(n－2)·180＝3×360＋180，解得：n＝9.则这个多边形的边数是9. 答案 9
8．(改编题)如图，?ABCD中，点E是边AB的中点，连结DE交对角线AC于点O，则△AOE与△COD面积的比为________．
?AE?2?1?2解析 ∵AE∥CD，∴△AOE∽△COD.∴△AOE与△COD面积的比为?CD?＝?2?＝
????1
4.
1
答案 4(或1∶4)
9．(原创题)已知?ABCD的周长为28，自顶点A作AE⊥DC于E，AF⊥BC于F，若AE＝3，AF＝4，则CE－CF＝____________．
解析 由△AFB∽△AED，得AD＝6，AB＝8.再由勾股定理求得BF＝43，DE＝33.从而求出CE－CF＝2＋3. 答案 2＋3
10．(原创题)如图，在图1中，A1，B1，C1分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，在图2中，A2，B2，C2分别是△A1B1C1的边B1C1，C1A1，A1B1的中点，…，按此规律，则第2 014个图形中平行四边形的个数共有________个．
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解析 在图1中，有3个平行四边形；在图2中，有6个平行四边形；在图3中，有9个平行四边形，从上面的数据可知图形中平行四边形的个数是图形序号的3倍，故第2 014个图形中平行四边形的个数是2 014×3＝6 042. 答案 6 042 三、解答题
11．(原创题)如图，在?ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F. (1)求证：∠BAE＝∠DAF；
243
(2)若AE＝4，AF＝5，sin∠BAE＝5，求CF的长．
(1)证明 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D.又∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°.
∵∠B＋∠BAE＝90°，∠D＋∠DAF＝90°， ∴∠BAE＝∠DAF. (2)解 在Rt△ABE中，
3
sin∠BAE＝5，AE＝4，可求AB＝5. 又∵∠BAE＝∠DAF， 3
∴ sin∠DAF＝sin∠BAE＝5.
243
在Rt△ADF中，AF＝5，sin∠DAF＝5，
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