习题二
1 一个质量为P的质点，在光滑的固定斜面（倾角为?）上以初速度v0运动，v0的方向与斜面底边的水平线AB平行，如图所示，求这质点的运动轨道．
解: 物体置于斜面上受到重力mg，斜面支持力N.建立坐标：取v0方向为X轴，平行斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2. 题2-2图
X方向： Fx?0 x?v0t ①
?Y方向： Fy?mgsin??may ② t?0时 y?0 vy?0
由①、②式消去t，得
2 质量为16 kg 的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力的分量为fx＝6 N，fy＝-7 N，当
t＝0时，x?y?0，vx＝-2 m·s-1，vy＝0．求
当t＝2 s时质点的 (1)位矢；(2)速度．
解： ax?(1)
于是质点在2s时的速度 (2)
fx63??m?s?2 m1683 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为常数)作用，t=0时质点的速度为v0，证明(1) t时刻的速度为v＝v0ek?(k)tm；(2) 由0到t的时间内经过的距离为
?()tmvmx＝(0)［1-em］；(3)停止运动前经过的距离为v0()；(4)证明当t?mk时速
kk答: (1)∵ a??kvdv? mdt分离变量，得
即 ?t?kdtdv ??v0v0mvk?mt∴ v?v0e(2) x??vdt??v0e0tk?mt
kmv0?mtdt?(1?e)
k(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞， 故有 x???v0e0?k?mtdt?mv0 km时，其速度为 k1即速度减至v0的.
e (4)当t=
4一质量为m的质点以与地的仰角?=30°的初速v0从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量．
?解: 依题意作出示意图如题2-6图 题2-6图
在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,
而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为30o，则动量的增量为 由矢量图知，动量增量大小为mv0，方向竖直向下．
5 作用在质量为10 kg的物体上的力为F?(10?2t)iN，式中t的单位是s，(1)求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量．(2)为了使这力的冲量为200 N·s，该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度?6jm·s的物体,回答这两个问题．
-1
???解: (1)若物体原来静止，则
??t?4??1?p1??Fdt??(10?2t)idt?56kg?m?si,沿x轴正向，
00若物体原来具有?6m?s?1初速，则
?t?F?????p0??mv0,p?m(?v0??dt)??mv0??Fdt于是
0m0tt??????p2?p?p0??Fdt??p1,
0????同理， ?v2??v1,I2?I1
这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理．
(2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即 亦即 t2?10t?200?0 解得t?10s，(t??20s舍去)
6一颗子弹由枪口射出时速率为v0m?s，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 F =(a?bt)N(a,b为常数)，其中t以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．
?1解: (1)由题意，子弹到枪口时，有
F?(a?bt)?0,得t?a b(2)子弹所受的冲量 将t?a代入，得 b(3)由动量定理可求得子弹的质量 证毕．
????????7 设F合?7i?6jN．(1) 当一质点从原点运动到r??3i?4j?16km时，求F所作的功．(2)
如果质点到r处时需0.6s，试求平均功率．(3)如果质点的质量为1kg，试求动能的变化．
?解: (1)由题知，F合为恒力，
∴ A合?F?r?(7i?6j)?(?3i?4j?16k)
???????(2) P?A45??75w ?t0.6(3)由动能定理，?Ek?A??45J
8 如题2-18图所示，一物体质量为2kg，以初速度v0＝3m·s从斜面A点处下滑，它与斜面的摩擦
-1
力为8N，到达B点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度．
解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有
式中s?4.8?0.2?5m，x?0.2m，再代入有关数据，解得
题2-18图
再次运用功能原理，求木块弹回的高度h? 代入有关数据，得 s??1.4m, 则木块弹回高度
题2-19图
9 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直．
证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有
22?v12?v2即 v0 ①
题2-20图(a) 题2-20图(b) 又碰撞过程中，动量守恒，即有
亦即 v0?v1?v2 ② 由②可作出矢量三角形如图(b)，又由①式可知三矢量之间满足勾股定理，且以
???v0为斜边，故知v1与v2是互相垂直的．
???10 一质量为m的质点位于(x1,y1)处，速度为v?vxi?vyj, 质点受到一个沿x负方向的力f的
???作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩．
解: 由题知，质点的位矢为 作用在质点上的力为
所以，质点对原点的角动量为 作用在质点上的力的力矩为
???????M0?r?f?(x1i?y1j)?(?fi)?y1fk
11 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为r1＝8.75×10m 时的速率是v1＝
10
5.46×10
4
m·s，它离太阳最远时的速率是v2＝9.08×10m·s
-1
2
-1
这时它离太阳的距离r2多少?(太
阳位于椭圆的一个焦点。)
解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有 r1mv1?r2mv2
r1v18.75?1010?5.46?10412∴ r2???5.26?10m 2v29.08?10??????1??12 物体质量为3kg，t=0时位于r?4im, v?i?6jm?s，如一恒力f?5jN作用在物体上,
求3秒后，(1)物体动量的变化；(2)相对z轴角动量的变化．
解: (1) ?p??fdt??05jdt?15jkg?m?s?1 (2)解(一) x?x0?v0xt?4?3?7
?????即 r1?4i,r2?7i?25.5j ??????即 v1?i1?6j,v2?i?11j ???????∴ L1?r1?mv1?4i?3(i?6j)?72k ????∴ ?L?L2?L1?82.5kkg?m2?s?1
??3??解(二) ∵M?dz dt∴ ?L??0M?dt??0(r?F)dt
?t?t??