海淀区高三年级第二学期期中练习
数学（理科）
2018. 4
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题，共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合A?{0,a},B?{x | ?1?x?2}，且A?B，则a可以是
(A) ?1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 （2）已知向量a?(1,2)，b?(?1,0)，则a?2b(A) (?1,2) (B) (?1,4) (C) (1,2) (D) (1,4)
?
（3）执行如图所示的程序框图，输出的S值为 (A) 2 (B) 6 (C) 8 (D) 10
（4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形
ABCD及其内部的点组成的集合记为M,且P(x,y)为M中任意一点，则y?x的最大值为 (A) 1 (B) 2 (C) ?1 (D) ?2
（5）已知a，b为正实数，则“a?1，b?1”是“lga?lgb?0”的( )
(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件
(B) 必要而不充分条件
(D) 既不充分也不必要条件
（6）如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面上的投影的面积记作S，则S的值不可能是
(A) 1 (C)
（7）下列函数
43
(B)
65
32
(D)
f(x)中，其图象上任意一点P(x,y)的坐标
都满足条件y?x的函数是 (A)
f(x)?x3 (B)
f(x)?2x (C)
2f(x)?e?1 (D)
x
f(x)?ln(x?1)22
（8）已知点M在圆C1:(x?1)?(y?1)?1上，点N在圆C2:(x?1)?(y?1)?1上，则下列说法错误的是
（A）OM?ON的取值范围为[?3?22,0] （B）|OM?ON|的取值范围为[0,22]
（C）|OM?ON|的取值范围为[22?2,22?2]
（D）若OM??ON，则实数?的取值范围为[?3?22,?3?22]
第二部分（非选择题，共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）复数
2i1?i? _____________.
（10）已知点(2,0)是双曲线C:xa22?y2?1的一个顶点，则C的离心率为____________.
（11）直线??x?2t?y?t（t为参数）与曲线??x?2?cos??y?sin?（?为参数）的公共点个数为__________.
（12）在?ABC中，若c?2,a?3,?A??6，则sinC?_______,cos2C?_______.
（13）一次数学会议中，有五位教师来自A，B，C三所学校，其中A学校有2位，B学校
有2位，C学校有1位。现在五位老师排成一排照相，若要求来自同一学校的老师不相邻，则共有_______种不同的站队方法. （14）已知f(x)???x,?x?3x,3x…a,x?a.
① 若f(x)有两个零点，则a的取值范围是__________ ；
② 当a??2时，则满足f(x)?f(x?1)??3的x的取值范围是__________．
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
已知f(x)?23sinxcosx?2cos2x?1
（Ⅰ）求f()的值；
?6（Ⅱ）求f(x)的单调递增区间.
（16）（本小题13分）
流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播. 科学测定，当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播.下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度。 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 72% a% 59% b% 甲地 54% 39% 46% 54% 56% 67% 64% 66% 78% 72% 乙地 38% 34% 31% 42% 54% 66% 69% 65% 62% 70% （Ⅰ）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；
（Ⅱ）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X，求X的分布列； （Ⅲ）若a?b?108，设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M，求M的最大值和最小值.（只需写出结论）
（17）（本小题14分）
已知三棱锥P－ABC（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形ABCD为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形．在三棱锥P－ABC中： （Ⅰ）证明：平面PAC⊥平面ABC； （Ⅱ）求二面角A－PC－B的余弦值； （Ⅲ）若点M在棱PC上，满足
的取值范围．
PDACMCP??2 ，??[12点,]，33N在棱BP上，且BM⊥AN，求
BNBPACBCBE(图1)(图2)F
（18）（本小题13分）
已知函数f(x)?lnxx?a，
（Ⅰ）当a?0时，求函数f(x)的单调递增区间； （Ⅱ）当a?0时，若函数f(x)的最大值为
（19）（本小题14分）
已知椭圆C：x221e2，求a的值.
a?yb22?1?a?b?0?的离心率为
32，且点T?2,1?在椭圆上.设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P,Q两点，直线TP,TQ分别与x轴正半轴交于M,N两点. （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）判断OM?ON的值是否为定值，并证明你的结论.
（20）（本小题13分）
????????a1,1a2,1Man,1a1,2a2,2Man,2LLOLa1,n??a2,n?是由1，2，3，…，n2组成一个n行n列的M??an,n??设A?(ai,j)n?n数表（每个数恰好出现一次），n?2且n?N*.
若存在1?i?n，使得ai,j既是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值，1?j?n，则称数表A为一个“N?数表”，ai,j为数表A的一个“N?值”.
对任意给定的n，所有“N?数表”构成的集合记作?n.
（Ⅰ）判断下列数表是否是“N?数表”.若是，写出它的一个“N?值”
?1?A?4??7?2583??1??6，B?8????69??4297??5； ?3??
（Ⅱ）求证：若数表A是“N?数表”，则A的“N?值”是唯一的；
（Ⅲ）在?19中随机选取一个数表A，记A的“N?值”为X，求X的数学期望E(X).