P(A3)=
C5C5C51023=
100252, P(A4)=
C5C5C51014=
25252, P(A5)=
C5C0510=
1252
A0,A1,A2,A3,A4,A5构成?5的一个分割,故
125C433P(B0)=?i?05100C3P(Ai)P(B0?Ai)=.1?.4?.3252252C5252C525252.C4C1C532121+0+0+0=
2212521,
105252P(B1)=?P(Ai)P(B1?Ai)=0?i?0100C3C2100C2C3?.?.33252C5252C52121+0+0=
21 ,
5P(B2)??i?05100C2C3100C3C225C4C1105P(Ai)P(B2?Ai)?0?0?.?.?.?0?333252C5252C5252C5252100C3100C3C225C4121P(Ai)P(B3?Ai)?0?0?0?.3?.?.?.1?33252C5252C5252C52522523,
3213P(B3)??i?0从而P(C)?(3)
?j?0P(Bj)P(C?Bj)?1252.0?10511052211.?.?.1?252325232522
如A5发生,则B3一定发生,从而C一定发生,所以
P(A5)P(C?A5)P(C)?1126P(C?A5)=1, P(A5?C)?
2.推广全概率公式和推广贝叶斯公式的矩阵表示
2.1.推广全概率公式的矩阵表示 2.1.1全概率公式的推广
在第一章对全概率公式的条件和结论作如下改动,就可以得到推广的全概率公式.
n设n 个A1,A2,...,An事件互不相容, 且?Aj??,m个事件B1,B2,...,Bn中的Bi (i =
j?1n1 ,2 , ?,m) 只能与事件A1,A2,...,An之一同时发生,Bi?n?Bj?1iAj(i=1,2,…,m)则有 P (Bi)=
?P(Aj?1j)P(Bi/Aj)
(i=1,2,…,m)
2.1.2 推广的全概率公式的矩阵表示
n因为P (Bi)=?P(Aj)P(Bi/Aj) (i=1,2,…,m)
j?1 6
即 P(B1)?P(A1)P(B1/A1)?P(A2)P(B1/A2)?...?P(An)P(B1/An)
P(B2)?P(A1)P(B2/A1)?P(A2)P(B2/A2)?...?P(An)P(B2/An)
.........
P(Bm)?P(A1)P(Bm/A1)?P(A2)P(Bm/A2)?...?P(An)P(Bm/An)按矩阵的乘法,有
?P(B1)???P(B2)???????P(B)m???P(B1/A1)?P(B2/A1)?????P(Bm/A1)P(B1/A2)P(B2/A2)?P(Bm/A1)????P(B1/An)??P(B2/An)????P(Bm/An)??P(A1)???P(A2)???????P(A)n??=
2.2 推广贝叶斯公式的矩阵表示
n设事件A1,A2,...,An互不相容,且?Aj??,在事件B1,B2,...,Bn中的Bi(i = 1 ,2 , ?,m)
j?1只能与事件A1,A2,...,An之一同时发生,则在事件Bi(i=1,2,…,m)发生的条件下,事件
Aj(j=1,2,…,n)发生的概率
P(Aj)P(Bi/Aj)P(Bi)(i?1,2,...m;j?1,2,...n)
P(Aj/Bi)?将所有的P(Aj/Bi)(i?1,2,...m;j?1,2,...n)排成如下矩阵,则由矩阵的运算,有
?P(A1/B1)?P(A1/B2)?????P(A1/Bm)P(A2/B1)P(A2/B2)?P(A2/Bm)????P(An/B1)??P(An/B2)????P(An/Bm)?
?P(A1)?P(B)1??P(A1)P(B2)=?????P(A1)??P(Bm)P(B1/A1)P(B2/A1)?P(Bm/A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(B2)P(A2)P(Bm)P(B1/A2)P(B2/A2)?P(Bm/A1)?P(An)P(B1)P(An)P(B2)P(An)P(Bm)????P(B1/An)???P(B2/An)?????P(Bm/An)???
7
=
?1?P(B)1?????????1P(B2)?????????1?P(Bm)???P(B1/A1)?P(B2/A1)?????P(Bm/A1)P(B1/A2)P(B2/A2)?P(Bm/A1)????P(B1/An)??P(B2/An)????P(Bm/An)??P(A1)?????P(A2)??????P(An)?
即
?P(A1/B)?P(A1/B)?????P(A1/Bm)P(A/B)1?P(A/B)2??P(A2/Bm)??P(An/B)??P(An/B)????P(An/Bm)?2 =
?1?P(B)1?????????1P(B2)?????????1?P(Bm)???P(B1/A1)?P(B2/A1)?????P(Bm/A1)P(B1/A2)P(B2/A2)?P(Bm/A1)????P(B1/An)??P(B2/An)????P(Bm/An)?
?P(A1)?????P(A2)??????P(An)?
n容易证明
?P(Aj?1j/Bi)?1(i?1,2,...,m)
2.3 应用例证
例5 某厂有号码1、2、3的箱子个数分别为n1,n2,n3,其中1号箱子装有一等品a1件，二等品b1件，三等品c1件，2号箱子装有一等品a2件，二等品b2件，三等品c2件，3号箱子装有一等品a3件，二等品b3件，三等品c3件，现任选一个箱子，并从中任取一件，问取出的是一等品、二等品、三等品的概率各是多少？
8
3解 设Dj：“取出的一件是j号箱的”(j=1，2，3)，且?Dj??
j?1
A: 取出的一件是一等品 B: 取出的一件是二等品 C: 取出的一件是三等品
njn1?n2?n3由条件知P(Dj)=
P(A/D1)?a1(j=1,2,3)
a2a2?b2?c2b2a2?b2?c2c2a2?b2?c2a1?b1?c1b1a1?b1?c1c1a1?b1?c1 P(A/D2)? P(B/D2)? P(C/D2)? P(A/D3)? P(B/D3)? P(C/D3)?a3a3?b3?c3b3a3?b3?c3c3a3?b3?c3
P(A/D3)??P(B/D3)?P(C/D3)??P(B/D1)?P(C/D1)??P(A)???P(B)????P(C)??=
?P(A/D1)?P(B/D1)???P(C/D1)P(A/D2)P(B/D2)P(C/D2)
?P(D1)???P(D2)????P(D3)??=
?a1?a?b1?c1?1?b1??a1?b1?c1?c1??a1?b1?c1?a2a1?b1?c1b2a2?b2?c2c2a2?b2?c2a2n2??a3?b3?c3??b3?a3?b3?c3??c3?a3?b3?c3?a3?a3n3??n1??n1?n2?n3????n2??n?n?n23??1??n3??n?n?n23??1=
??(a?b1??1???(a1?b1????(a1?b1?a1n1c1)(n1b1n1c1)(n1c1n1c1)(n1???n2?n3)(a2?b2?c2)(n1?n2?n3)(a3?b3?c3)(n1?n2?n3)??b3n3b2n2????n2?n3)(a2?b2?c2)(n1?n2?n3)(a3?b3?c3)(n1?n2?n3)??c3n3c2n2????n2?n3)(a2?b2?c2)(n1?n2?n3)(a3?b3?c3)(n1?n2?n3)?
例6 炮弹爆炸时产生大、中、小三种弹片,这三种弹片击中坦克的概率依次分别为0. 1 、0. 3 、0. 6 ,若这三种弹片击中坦克,则其击穿坦克的概率依次分别为0. 9 、0. 2 、0. 05 ,已知坦克被弹片击穿,求坦克被大、中、小弹片击穿的各情况的概率． 解：设B：“坦克被弹片击穿”
，则P(A1)=0.1 A1:“大弹片击中坦克”
9
，则P(A2)=0.3 A2:“中弹片击中坦克”
，则P(A3)=0.6 A3:“小弹片击中坦克”
且A1?A2?A3=?
P(B?A1)＝0.9, P(B?A2)=0.2, P(B?A3)=0.05
P(B)＝P(A1)P(B?A1)＋P(A2)P(B?A2)＋P(A3)P(B?A3)
＝0.1×0.9＋0.3×0.2＋0.6×0.05＝0.18
P(A2?B)P(A3?B)?
?P(A1)?P(B??3)??????1?＝?2??0.6??13所以?P(A1?B)1P(B)＝
?P(B??1)P(B??2)P(A2)?? ?P(A3)??＝
10.18?0.90.2?0.1?0.05????0.31?6??.
参考文献:
[1] 峁诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社,2005. [2] 李贤平,沈崇圣,陈子腾.概率论与数理统计[M].上海: 复旦大学出版社,2003.
[3] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)[M]. 北京：高等教育出版
社,2003.
[4] 庄建红.全概率公式、贝叶斯公式的推广及其应用[J].辽宁省交通高等专科学校学报:自然科
学版,2003.
10