第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件
考点集训 【p168】
A组
1．设m∈R，命题“若m>0，则方程x＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )
2
A．若方程x＋x－m＝0有实根，则m>0
2
B．若方程x＋x－m＝0有实根，则m≤0
2
C．若方程x＋x－m＝0没有实根，则m>0
2
D．若方程x＋x－m＝0没有实根，则m≤0
【解析】将条件和结论同时否定，再将条件换成结论，结论换成条件． 【答案】D
2．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【解析】由题得原命题“若x≥0，y≥0，则xy≥0”是真命题，所以其逆否命题也是真命题．
逆命题为：“若xy≥0，则x≥0，y≥0”，是假命题，所以否命题也是假命题， 所以四个命题中，真命题的个数为2. 故答案为B. 【答案】B
x－10
3．已知条件p：log2(x－2)≤3，条件q：2<1，则p是q的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】p等价于x∈(2，10]，q等价于x∈(－∞，10)，两集合无包含关系． 【答案】D
4．下列命题中为真命题的是( )
A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题
2
B．命题“若x＞1，则x＞1”的否命题
2
C．命题“若x＝1，则x＋x－2＝0”的否命题
2
D．命题“若x＞0，则x＞1”的逆否命题
【解析】A中，逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，是真命题；
2
B中，否命题为“若x≤1，则x≤1”，是假命题；
2
C中，否命题为“若x≠1，则x＋x－2≠0”，是假命题； D中，原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题． 故选A. 【答案】A
1
5．在实数范围内，使得不等式>1成立的一个充分而不必要的条件是( )
2
xA．x>0B．x<1 1
C．0 1x－1 【解析】∵>1，∴<0，∴0 xx11?1??1?∵?0，??(0，1)，?0，?≠(0，1)，∴0 2x?2??2? 件，选D. 【答案】D 6．命题“若a－b＝0，则(a－b)(a＋b)＝0”的逆否命题为__________________． 【解析】命题“若a－b＝0，则(a－b)(a＋b)＝0”的逆否命题为：若(a－b)(a＋b)≠0，则a－b≠0. 【答案】若(a－b)(a＋b)≠0，则a－b≠0 22 7．已知p：|x－1|>2，q：x－2x＋1－a≥0(a>0)，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______________． 【解析】由题可得：p：x>3或x<－1， q：x2－2x＋1－a2≥0，[x－(1－a)]·[x－(1＋a)]≥0， ∵a＞0，∴1－a＜1＋a. 解得x≥1＋a或x≤1－a. 因为q是p的必要不充分条件，故： ?1＋a≤3， ? ?1－a≥－1，解得0 【答案】(0，2] 2 8．已知命题p：“方程x＋mx＋1＝0有两个不相等的实根”，命题p是真命题． (1)求实数m的取值集合M; (2)设不等式(x－a)(x－a－2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的充分条件，求a的取值范围． 2 【解析】(1) 命题p：方程x＋mx＋1＝0有两个不相等的实根， 2 Δ＝m－4>0，解得m>2，或m<－2. M＝{m|m>2，或m<－2}． (2) 因为x∈N是x∈M的充分条件，所以N?M， N＝{x|a 1．唐代诗人杜牧的七绝唐诗《偶题》传诵至今，“道在人间或可传，小还轻变已多年．今来海上升高望，不到蓬莱不是仙”.由此推断，后一句中“是仙”是“到蓬莱”的( ) A．必要条件B．充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件 【解析】由题得，“是仙”一定“到蓬莱”，所以“是仙”是“到蓬莱”的充分条件．由题得，“到蓬莱”不一定“是仙”，所以“是仙”是“到蓬莱”的充分非必要条件．故选B. 【答案】B 2．已知非零向量a，b, 则“a·b>0”是“a，b夹角为锐角”的( ) A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 【解析】a·b>0时，a与b的夹角为锐角或零，不一定是锐角，故充分性不成立． 而a与b的夹角为锐角或零时，有a·b>0，必要性成立，故选B. 【答案】B 1 3．原命题p：“若x≥1，则x＋≥2”，关于它的逆命题、否命题、逆否命题真假性的x判断依次如下，正确的是( ) A．真、假、真B．假、假、真 C．真、真、假D．假、假、假 11 【解析】命题p的否命题是：“若x＜1，则x＋＜2”．当x＝时，不成立，∴否命题 x2 是假命题，由此可知逆命题也是假命题；由均值不等式可知原命题是真命题，所以逆否命题是真命题．故选B. 【答案】B 4．下列命题正确的序号是__________． ab①命题“若a>b，则2>2”的否命题是真命题； ②命题“a、b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是真命题； ③若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件； 12 ④方程ax＋x＋a＝0有唯一解的充要条件是a＝±. 2 abab【解析】对于①，命题“若a>b，则2>2”的逆命题是“若2>2，则a>b”，逆命题为真命题，所以否命题为真命题，①正确；对于②，因为命题“a，b都是偶数，则a＋b是偶数”为真命题，则其逆否命题为真命题，②正确；对于③，若p是q的充分不必要条件，即若p则q为真命题，若q则p为假命题，所以若綈q则綈p为真命题，若綈p则綈q为假命题，所以綈p是綈q的必要不充分条件，③正确；对于④，当a＝0时，方程也是有唯一解，所以④错误，综上，正确的有①②③. 【答案】①②③