第1课时 函数的表示法
[A 基础达标]
1．下表表示y是x的函数，则函数的值域是( )
x y 0 B．{2，3，4，5} D．N * 解析：选B.由表格可知，y的值为2，3，4，5.故函数的值域为{2，3，4，5}． 2．已知f(x)＝x＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝( ) A．0 C．2 解析：选B.因为f(x)＝x＋bx＋c， 且f(1)＝0，f(3)＝0， ??1＋b＋c＝0，所以? ?9＋3b＋c＝0，???b＝－4，解得? ?c＝3，? 2 2 B．8 D．－2 即f(x)＝x－4x＋3， 所以f(－1)＝1＋4＋3＝8. 3．已知函数f(x－1)＝x－3，则f(2)的值为( ) A．－2 C．1 解析：选B.法一：令x－1＝t，则x＝t＋1， 所以f(t)＝(t＋1)－3， 所以f(2)＝(2＋1)－3＝6. 法二：f(x－1)＝(x－1)＋2(x－1)－2， 所以f(x)＝x＋2x－2， 所以f(2)＝2＋2×2－2＝6. 法三：令x－1＝2，所以x＝3， 所以f(2)＝3－3＝6. 4．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)＝2x＋17，则f(x)等于( ) 2 A.x＋5 3 2 B.x＋1 3 222 2 22 2 2 B．6 D．0 C．2x－3 解析：选A.因为f(x)是一次函数， 所以设f(x)＝ax＋b(a≠0)， D．2x＋1 由3f(x＋1)＝2x＋17，得3[a(x＋1)＋b]＝2x＋17， 整理得3ax＋3(a＋b)＝2x＋17， ???a＝，?3a＝2， 所以?所以?3 ?3（a＋b）＝17，?? ?b＝5， 2 所以f(x)＝x＋5，故选A. 3 5．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口) 2 给出以下3个论断： ①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水． 则正确论断的个数是( ) A．0 C．2 B．1 D．3 解析：选B.由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，故③错． 6．已知函数y＝f(x)的对应关系如表所示，函数y＝g(x) 的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))的值为________． x 1 2 3 f(x) 2 3 0 解析：由函数g(x)的图象知，g(2)＝1， 则f(g(2))＝f(1)＝2. 答案：2 7．(2019·莆田高一检测)函数y＝x＋2x－3在区间[－3，0]上的值域为________． 解析：y＝x＋2x－3＝(x＋1)－4， 抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝－1， 因为x∈[－3，0]， 所以当x＝－3时，ymax＝0， 当x＝－1时，ymin＝－4. 函数的值域为[－4，0]． 答案：[－4，0] 8．已知a，b为常数，若f(x)＝x＋4x＋3，f(ax＋b)＝x＋10x＋24，则5a－b＝________． 解析：由f(x)＝x＋4x＋3，f(ax＋b)＝x＋10x＋24，得(ax＋b)＋4(ax＋b)＋3＝x＋10x2 2 2 2 2 2 2 2 2 a＝1，??2222 ＋24，即ax＋(2ab＋4a)x＋b＋4b＋3＝x＋10x＋24，由系数相等得?2ab＋4a＝10，解得a??b2＋4b＋3＝24， ＝－1，b＝－7或a＝1，b＝3，则5a－b＝2. 答案：2 9．已知函数p＝f(m)的图象如图所示．求： 2 (1)函数p＝f(m)的定义域； (2)函数p＝f(m)的值域； (3)p取何值时，只有唯一的m值与之对应． 解：(1)观察函数p＝f(m)的图象，可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是－3≤m≤0或1≤m≤4，由图知定义域为[－3，0]∪[1，4]． (2)由图知值域为[－2，2]． (3)由图知：p∈(0，2]时，只有唯一的m值与之对应． 10．已知函数f(x)＝g(x)＋h(x)，g(x)关于x成正比，h(x)关于x成反比，且g(1)＝2, 2 h(1)＝－3.求： (1)函数f(x)的解析式及其定义域； (2)f(4)的值． 解：(1)设g(x)＝k1x(k1∈R，且k1≠0)， 2 h(x)＝ k2 (k2∈R，且k2≠0)， x由于g(1)＝2，h(1)＝－3， 所以k1＝2，k2＝－3. 所以f(x)＝2x－ 2 3 x， 定义域是(0，＋∞)． (2)由(1)，得f(4)＝2×4－ 2 3 61＝. 42 [B 能力提升] ?1－x?＝1－x(x≠－1)，则f(x)的解析式为( ) 11．已知f???1＋x?1＋x2 A．f(x)＝2(x≠－1) 1＋x2xB．f(x)＝－2(x≠－1) 1＋xC．f(x)＝ 2x2(x≠－1) 1＋x2 xD．f(x)＝－2(x≠－1) 1＋xx1－x1－t4t2t解析：选C.设＝t，则x＝(t≠－1)，所以f(t)＝＝＝22， 1＋x1＋t22＋2t1＋t?1－t?1＋???1＋t?即f(x)＝ 2x2(x≠－1)．故选C. 1＋x?1－t?1－???1＋t? 2 122 12．设f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x＋3)，且g(f(x))＝x－x＋1，则a的值为( ) 4A．1 C．1或－1 B．－1 D．1或－2 1211222 解析：选B.因为g(x)＝(x＋3)，所以g(f(x))＝[(2x＋a)＋3]＝(4x＋4ax＋a＋3) 444 ＝x－x＋1，求得a＝－1.故选B. 13．画出二次函数f(x)＝－x＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小； (2)若x1＜x2＜1，比较f(x1)与f(x2)的大小； (3)求函数f(x)的值域． 解：f(x)＝－(x－1)＋4的图象如图所示： (1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0， 所以f(1)＞f(0)＞f(3)． (2)由图象可以看出， 当x1＜x2＜1时， 函数f(x)的函数值随着x的增大而增大， 所以f(x1)＜f(x2)． (3)由图象可知二次函数f(x)的最大值为f(1)＝4，则函数f(x)的值域为(－∞，4]． 14．(选做题)设二次函数f(x)满足f(x－2)＝f(－x－2)，且图象与y轴交点的纵坐标为1，被x轴截得的线段长为22，求f(x)的解析式． 解：法一：设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)． 由f(x－2)＝f(－x－2)得4a－b＝0；① 22 2 2 b2－4ac又因为|x1－x2|＝＝22， |a| 所以b－4ac＝8a；② 又由已知得c＝1.③ 1 由①②③解得b＝2，a＝，c＝1， 212 所以f(x)＝x＋2x＋1. 2 法二：因为y＝f(x)的图象有对称轴x＝－2， 又|x1－x2|＝22， 所以y＝f(x)的图象与x轴的交点为(－2－2，0)，(－2＋2，0)． 故可设f(x)＝a(x＋2＋2)(x＋2－2)． 1 因为f(0)＝1，所以a＝. 2 1122 所以f(x)＝[(x＋2)－2]＝x＋2x＋1. 22 2 2