统计学学习指导与习题
单位成本总指数Ip=∑p1q1/∑p0q1=15110/16750=90.21% 产量总指数Iq=∑p0q1/∑p0q0=16750/14500=115.52% 总成本总指数Ipq=∑p1q1/∑p0q0=15110/14500=104.21% ⑵因素分析 第一步，总变动
相对数：Ipq=∑p1q1/∑p0q0=15110/14500=104.21% 绝对数：∑p1q1-∑p0q0=15110-14500=610万元
即报告期总成本比基期增长了4.21%，增加了610万元。 第二步，由于单位成本变动的影响
相对数：Ip=∑p1q1/∑p0q1=15110/16750=90.21% 绝对数：∑p1q1-∑p0q1=15110-16750=-1640万元
即报告期单位成本比基期下降了9.79%，从而使总成本减少1640万元。 第三步，由于产量变动的影响
相对数：Iq=∑p0q1/∑p0q0=16750/14500=115.52% 绝对数：∑p0q1-∑p0q0=16750-14500=2250万元
即报告期产量比基期增长了15.52%，从而使总成本增加了2250万元。 第四步，综合影响：由于上述两个因素的共同影响，使报告期总成本比基期增长了4.21%，增加了610万元。即：相对数：104.21%=90.21%×115.52% 绝对数：610=-1640+2250
解题说明：本例是综合指数计算的最基本题型。同学们在学习时，应该注意这样几点：第一，必须正确掌握我国统计指数编制的一般原则：质量指标指数（即Ip）采用帕氏公式，数量指标指数（Iq）采用拉氏公式。根据这套指数体系理论，统计指数的计算只需要三个基本总量：即报告期总量∑p1q1、基期总量∑p0q0 和假定值∑p0q1，这里最最关键的问题是这个假定值的计算，根据我国指数实践，假定值是“基期质量指标与报告期数量指标之积”，千万不要错记为“p1q0”，差之毫厘，失之千里。掌握了这三个基本数据，两两对应相除，就很容易写出综合指数的三个公式（价格指数Ip总是价格从基期变动到报告期而销售量保持不变；销售量指数Iq则总是销售量从基期变动到报告期而相应的价格固定不变；销售额指数只不过是其发速度），第二，指数因素分析的一般步骤就如上例所示。其实，某一指数本身就是“相对影响”，而该指数的分子减去分母，就是该因素对总变动的“绝对影响”。第三，必须正确判断何为“数量指标”（q），何为质量指标（p）。若判断错误，则计算结果将完全相反。在两因素指数体系中，如产量、销售量、职工人数、面积总数等总量指标都是数量指标，而单位成本、人均产量、单价、亩产、平均工资等平均指标与相对指标都属于质量指标。第四，本例计算中常见的错误是：将数量指标与持量指标混淆、将“总成本”误为q、逐个产品计算个体指数并分析、错误地将三种产品的单位成本相加再去与三种商品的产量之和相乘（不同计量单位的数值是不可相加的）。
[例2]加权调和平均指数。某企业报告期与基期有关商品销售资料如下表。
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商品 甲 乙 丙 合计 1998年销售额（万元） 100 200 500 800 1999年销售额（万元） 150 250 600 1000 销售价格提高（+）或降低（-）% +20 +10 -10 _ 要求计算：⑴销售价格总指数、销售量总指数、销售额总指数。 ⑵由于销售价格变动而使销售额增加或减少的数值。
解题过程：⑴已知∑p0q0=800万元， ∑p1q1=1000万元（p为销售价格，q为销售数量）
根据例1的解题说明，我们知道还需要“假定值”∑p0q1。本例的销售价格提高或降低比率加上100%之后实际上就是价格个体指数。故有：
∑p0q1=∑（p1q1/ Ip）=150/1.2+250/1.1+600/0.9 =1018.94万元
所以，销售价格总指数Ip =∑p1q1/∑p0q1=1000/1018.94=98.14% 销售量总指数Iq=∑p0q1/∑p0q0=1018.94/800=127.37% 销售额总指数Ipq=∑p1q1/∑p0q0=1000/800=125% ⑵销售价格变动而使销售额减少18.94万元
∑p1q1-∑p0q1=1000-1018.94=-18.94万元
解题说明：本例属于指数中的平均数指数计算，但从上述示范过程不难发现，我们采用了综合指数的方式来计算总指数，结果是一致的。从形式上看，本题的价格指数计算采用的是“加权调和平均数指数”公式。学习本题时应该注意以下几点：第一，本题最易犯的错误是乱套平均数指数公式，不少考生会在调和平均与算术平均之间犹豫。其实，只要理解了“平均数指数是综合指数的变形”这一观点，从综合指数的计算公式入手，找出计算总指数所需要的那三个基本总量，就不难断定这是一个加权调和平均数指数。第二，本例中还有一个容易犯的错误是：个体指数找不出来，或者不知道所给资料与个体指数有什么关系。如本例中，“销售价格提高或降低”的符号含义就是：p1/p0-1，只要加上100%即成为价格的个体指数。第三，销售价格变动对销售额的绝对影响就等于该指数分子与分母之间的差额。 [例3]加权算术平均指数。
某企业报告期与基期有关商品销售资料如下表 商品 A 基期销售额（万元） 报告期销售额（万元） 销售量增长速度% 200
220 +8 19
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B C 合计 300 500 1000 360 620 1200 +12 +10 ____ 要求：⑴计算销售量总指数与销售额总指数；⑵推算销售价格总指数； ⑶从绝对数方面分析销售额变动的原因。
解题过程：⑴已知∑p0q0=1000万元， ∑p1q1=1200万元（p为销售价格，q为销售数量） 与例2类似，还需要计算“假定值”∑p0q1。本例的产量增长速度加上100%之后 即为产量个体指数。故有：
∑p0q1=∑(p0q0× Iq)=200×1.08+300×1.12+500×1.1 =1102万元 所以，销售量总指数Iq=∑p0q1/∑p0q0=∑(p0q0× Iq)/ ∑p0q0
=1102/1000=110.2%
销售额总指数Ipq=∑p1q1/∑p0q0=1200/1000=120% ⑵销售价格总指数Ip =销售额指数/销售数量指数 =Ipq/Iq=120%/110.2%=108.89%
⑶销售价格变动而使销售额增加98万元，即∑p1q1-∑p0q1=1200-1102=98万元 销售数量变动而使销售额增加万元，即∑p0q1-∑p0q0=1102-1000=102万元 以上两个因素共同作用而使销售额增加200万元。
解题说明：本例与例2类似，属于仍然属于平均数指数的计算，但不同的是，本例所知的是“数量指标的个体指数”。因此，“假定值”只能采用∑(p0q0× Iq)的方式推算这里（Iq）是个体数量指数。这就不难看出“销售量指数”采用的是“加权算术平均数指数”公式。学习本题时应该注意以下几点：第一，应该注意本例与例2之间的差异。第二，“推算价格总指数”，就是要求利用指数体系而不是直接由∑p1q1/∑p0q1来计算价格指数。利用指数体系进行指数推算正是指数体系的重要作用之一。 [例4]文字叙述形式的指数分析资料。
某市1998年国内生产总值5290万元（按当年价格计算），比上年增长15%，扣除产出的价格影响，实际增长10%。
要求计算：⑴国内生产总值物价总指数与物量总指数
⑵由于价格上涨而使名义国内生产总值“虚增”的金额。 解题过程：⑴根据题意，可知∑p1q1=5290万元，Ipq-1=15%。， Iq-1=10%。 解法1： 根据指数体系的关系，可知Ip= Ipq/ Iq=115%/110%=104.55%
解法2： 根据“编制指数需要三个基本总量”的观点，由指数的计算公式可知： Ipq=∑p1q1/∑p0q0，故∑p0q0=∑p1q1 / Ipq=5290/115%=4600万元 Iq= ∑p0q1/∑p0q0，故∑p0q1=∑p0q0 ×Iq=4600×110%=5060万元 所以，国内生产总值中的物量指数Ip=∑p1q1/∑p0q1 =5290/5060=104.55%
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⑵由于价格上涨4.55%而使名义国内生产总值“虚增”230万元。即： 解法1：∑p0q1=∑p1q1/Ip=5290/1.045455=5060万元 ∑p1q1-∑p0q1=∑p1q1（1-1/Ip）=5290-5060=230万元 解法2：∑p1q1-∑p0q1=5290-5060=230万元
解题说明：本例的关键是正确理解文字的符号含义。第一，要正确找出指数因素关系：国内生产总值=物价（p）×物量（q）。因此，报告期的国内生产总值就是∑p1q1，名义国内生产总值的增长速度加上100%之后即为Ipq。第二，要正确理解“扣除价格影响，实际增长”这段文字的统计含义。“扣除价格影响”意为∑p0q1（价格不变），因此“实际增长”的含义就十分清楚了：它是指∑p0q1与∑p0q0之间的对比，这一对比结果显然就是Iq-100%。第三，本例解法1中直接利用了指数体系，计算十分简明。而解法2则利用指数本身的关系，逐一推算“三个基本总量”，为后面的因素分析提供了便利。 （五）抽样区间估计与样本容量计算释疑
抽样推断是统计学的基本方法之一，也是统计学原理的重点学习内容之一。抽样调查特点、抽样平均误差影响因素、抽样参数估计、抽样样本容量确定等构成了这一章的重点内容，而其中的参数估计与样本容量确定则是计算的重点。下面通过例题与初学者谈谈如何进行抽样估计，如何确定样本容量。
[例1]某市统计部门为了解全市居民年消费支出情况，从全市20万户居民中随机抽取1000户居民进行调查，经计算平均每户年生活费支出为1.8万元，标准差0.9万元。 要求：⑴以95.45%(t=2)的概率保证程度估计户均生活费支出的区间。
⑵估计全市居民消费总支出区间。 [解题过程]已知
x?1.8,??0.9,t?2,N?200000,n?1000平均误差?x??2n(1?n0.81)?(1?0.5%)?0.028万元N1000极限误差?x?t?x?2?0.028?0.056万元 则户均年支出区间：[1.8-0.056,1.8+0.056]万元=[1.744,1.856]万元 全市居民消费总支出区间：20万户×[1.744,1.856]万元=[3.488,3.712]亿元 [几点说明]（1）一般而言，抽样区间估计的基本步骤是：点估计、平均误差、极限误差、置信区间。本例就是标准的均值参数区间估计题型。由于样本均值与标准差是已知的，所以无需计算点估计值。（2）本题计算时，必须注意“方差”与“标准差”的区别，不要将标准差当作方差来使用。（3）社会经济问题抽样调查一般都是采用不重复抽样的，只有当总体单位总数N未知或n/N的比重很低时，才可以采用重复抽样平均误差公式来计算平均误差。（4）估计总量指标时，可直接将样本均值的区间乘上全及总体单位总数N即可。
[例2]某企业为了解本市居民对某类保健品的看法，采用简单随机抽样方式，从全市居民户
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中随机抽取500人进行调查结果如下：
对该类保健品的态度 喜欢 一般性 不喜欢 合计 人数 320 100 80 500 要求：以95%的可靠性估计全市居民中“喜欢”该产品的比率（t=1.96）。 [解题过程]已知: n=500，t=1.96，n1=320
点估计p=n1/n2=320/500=64%
平均误差?p?p(1?p)0.64?0.36??0.021466?2.15%n500极限误差?p?t?p?1.96?0.0215?4.21%喜欢该类保健品者的比率置信区间为：[64%-4.21%,64%+4.21%]=[59.79%,68.21%]
[几点说明]（1）本例是标准的成数区间估计题型。其基本步骤同样是：点估计、平均误差、极限误差、置信区间。（2）成数区间估计时最容易犯的错误就是：将N、n、n1相混淆。其实，若用文字表述，应该是“从N中随机抽取n个单位进行观察，有n1个单位是（具有某种特征）……”。并且，不要将抽样估计中提供的“可靠性水平”当作公式中的P来使用。“可靠性水平”值在计算时没有其它用途，只告诉我们概率密度t的具体取值。（3）本例没有提供全市居民总人数，所以N可视作“无穷大”。所以采用重复抽样的平均误差公式计算抽样误差。 [例3]某企业拟采用抽样技术对当天生产的5000件电子产品的耐用时间进行测试，要求有99%的可靠性（t=2.58）使耐用时间的误差范围不超过20小时。根据生产规格要求，这类电子产品耐用时数的标准差不超过150小时。问：至少应该抽取多少件产品进行质量检查（分别重复抽样与不重复抽样两种情况）。
[解题过程]已知N=5000，t=2.58，Δx=20,σ=150
t2?22.582?1502重复抽样时的样本容量n?2??374.4?375?件?2?x20Nt2?2不重复抽样时的样本容量n?N?2x?t2?25000?2.582?1502??348.3?349?件?2225000?20?2.58?150[几点说明]（1）本例是样本容量确定的标准题型之一。样本容量确定其实是极限误差计算（参
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