岩土弹塑性力学
1 塑性屈服准则
在组合应力状态下，材料所服从的屈服准则一般用下式表示： f??ij??0 (1) 函数f的特定形式是与材料有关的，其含有若干个材料常数。根据材料塑性准则是否与静水压力有关，可以将材米分为两类：与静水压力无关材料和与静水压力相关材料，这两类材料一般分别称为无摩阻材料和摩阻材料。通常情况下金属材料属于静水压力无关材料，而土、岩石、混凝土等地质材料属于与静水压力相关材料。与静水压力不相关的材料是由剪切力控制着它的屈服，在工程中一般采用Tresca准则和von Mises屈服准则，而与静水压力相关的材料一般采用最大拉应力准则、Mohr-Coulomb 准则和Drucker-Prager准则。下面就开始讨论这些塑性屈服准则。 1.1 Tresca屈服准则
Tresca准则于1864年提出，该屈服准则假定，当一点的最大剪应力达到极限值则发生屈服。以主应力表达这一准则，则在屈服时三个主应力两两之差值绝对值的一半中的最大值达到k，这上准则的数学表达式为：
11?1? max??1??2,?2??3,?3??1??k (2)
22?2?如果材料常数k由单轴试验确定，则可以得下述关系
k??02 (3)
其中，?0为单轴加载屈服应力。
为了以图形表示二维空间中的屈服曲线形状，假定一双轴应力状态，其中仅?1和
?2为非零，在?1轴和第一区间两轴角平分线间的应力顺序为?1??2?0，所以，由
式(2)可以导出
?12?k 或 ?1??0 (4)
在?1??2坐标系中绘出服从Tresca准则的屈服轨迹（图1）。
利用主应力与应力不变量之间的关系，可将式(2)变换为
1?(??)?2k?0 （0????60?） (5) f(J2,?)?2J2sin3式中，式中?成为相似角或Lode角。Tresca准则与I1无关，暗示不依赖于静水压力。
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由于Tresca准则与I1无关，故可将屈服面演绎成主应力空间的规则平行六面棱柱体（图2），它就是Tresca准则屈服图形。
Tresca准则的优点是表达式简单，道理清楚，即材料发生了剪切破坏，准侧参数容易在实验室中得到。但不足是是该准则在π平面上的图形中存在拐角点，在数学处理上存在不变，而且Tresca准则忽略了中间主应力?2对屈服准则的影响。 1.2 von Mises准则
1913年提出的von Mises准则用八面体剪应力来代替最大剪切应力，则将屈服准则表示为以下方程：
?oct?2J2?32k (6) 3其中k表示材料常数，它代表纯剪试验中的屈服应力。该屈服准则受中间主应力的影响，于是该准则还可以写成
f(J2)?J2?k2?0 (7) 或
??1??2????2??3????3??1??6k2 (8) 在单轴拉伸时，屈服发生于?1??0，?2??3?0，联立以上方程可得k??0/3。 von Mises准则可以用于对静水压力和相似角或Lode角不敏感的材料。屈服面变为主应力空间的圆柱面，其回转轴与?1??2??3的静水压力轴一致，屈服面与偏平面相交所得的横截面为??2k半径的圆。
von Mises准则的优点是：von Mises准则可以解决Tresca准则中存在拐点影响数学计算的问题，同时von Mises准则考虑了第二主应力?2的影响。 1.3 最大拉应力准则（Rankine准则）
最大拉应力准则现在已被普遍接受用于确定脆性材料是否会发生拉伸破坏。最大拉应力准则认为当最大应力达到拉伸强度ft'时，材料发生拉伸破坏。与此准则相关的屈服面为
?max(?1,?2,?3)?ft (9)
222为得到Rankine准则在π平面上的屈服曲线，可以进行如下换算，从而得到用J2、
I1和?表示的屈服准则：
假定：?1??2??3
2
?则方程(9)可以表示为?1?ft
?1?S1?I1又根据21 =J2COS??I133213
可以得到
1?J2cos??I1?ft?0
33于是用J2、I1和?表示的屈服准则如下：
?f(I1,J2,?)?23J2cos??I1?3ft?0 (0???60) (10)
根据公式(10)可绘出π平面上Rankine准则的屈服曲线。 1.4 Mohr-Coulomb准则
Mohr-Coulomb准则是基于最大剪应力为屈服决定性因素的假设。通过剪应力来定义材料发生屈服。当材料最大剪应力达到极限值，材料发生屈服。而这里的剪应力的极限值不再是一个定值，而是与在那一点上同一平面中正应力?的函数。 ??h??? (11) 式中，h???是由试验确定的函数，根据Mohr圆可以得到，这是一系列Mohr圆的包络线，当表示应力的圆与包络线相切时，说明材料内应力已经达到临界状态。当包络线采用曲线形式时，计算上比较麻烦，所以简化包络线方程为直线关系，直线包络线的方程就是Coulomb方程，其数学表达式为：
??c??ta?n (12)
式中，c为材料的内聚力；φ值则是材料的内摩擦角。这两个参数都可以在实验室中通过实验测定。与式（12）相关的的屈服准则称为Mohr-Coulomb准则。对于无摩阻材料特的特例，其中??0，式（12）退化为Tresca准则，其粘聚力等于纯剪切时的屈服应力，因此，Mohr-Coulomb准则可看作是Tresca准则的推广。
通过(12)式可以推算出用应力不变量表示的Mohr-Coulomb准则：
J21??f(I1,J2,?)?I1sin??J2sin(??)?cos(??)sin??ccos??0 (13)
3333由上式可以看出，Mohr-Coulomb准则与应力不变量I1有关，在正应力坐标系下，Mohr-Coulomb准则的图形将是锥型。 1.5 Drucker-Prager准则
Drucker-Prager准则是对von Mises准则的简单修正，它考虑了静水压力对屈服的
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