离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案

离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案

?1,若x为奇数? f (x)=?x

若x为偶数?2,?求f (0), f ({0}), f (1), f ({1}), f ({0,2,4,6,…}),f ({4,6,8}), f

-1

({3,5,7}).

解:f (0)=0, f ({0})={0}, f (1)=1, f ({1})={1},

f ({0,2,4,6,…})=N,f ({4,6,8})={2,3,4}, f -1 ({3,5,7})={6,10,14}. 4. 判断下列函数中哪些是满射的?哪些是单射的?哪些是双射的? (1) f:N?N, f(x)=x2+2 不是满射,不是单射

(2) f:N?N,f(x)=(x)mod 3,x除以3的余数 不是满射,不是单射

?1,若x为奇数 (3) f:N?N,f(x)=? 不是满射,不是单射

?0,若x为偶数?0,若x为奇数 (4) f:N?{0,1},f(x)=? 是满射,不是单射

1,若x为偶数? (5) f:N-{0}?R,f(x)=lgx 不是满射,是单射 (6) f:R?R,f(x)=x-2x-15 不是满射,不是单射

5. 设X={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={,,,}判断以下命题的真假: (1)f是从X到Y的二元关系,但不是从X到Y的函数; 对 (2)f是从X到Y的函数,但不是满射,也不是单射的; 错 (3)f是从X到Y的满射,但不是单射; 错 (4)f是从X到Y的双射. 错

2

第十章部分课后习题参考答案

4.判断下列集合对所给的二元运算是否封闭: (1) 整数集合Z和普通的减法运算。

封闭,不满足交换律和结合律,无零元和单位元 (2) 非零整数集合

普通的除法运算。不封闭

(R)和矩阵加法及乘法运算,其中n

2。

(3) 全体n?n实矩阵集合

封闭 均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律; 加法单位元是零矩阵,无零元;

乘法单位元是单位矩阵,零元是零矩阵;

离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案

(4)全体n?n实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算,其中n(5)正实数集合

和运算,其中运算定义为:

不封闭 因为 1?1?1?1?1?1??1?R? (6)n关于普通的加法和乘法运算。

2。不封闭

封闭,均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律 加法单位元是0,无零元;

乘法无单位元(n?1),零元是0;n?1单位元是1 (7)A = {a1,a2,?,an} n

运算定义如下:

封闭 不满足交换律,满足结合律, (8)S =

关于普通的加法和乘法运算。

封闭 均满足交换律,结合律,乘法对加法满足分配律 (9)S = {0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭,乘法封闭;乘法满足交换律,结合律 (10)S =

,S关于普通的加法和乘法运算。

加法不封闭,乘法封闭,乘法满足交换律,结合律

5.对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律,结合律,分配律。 见上题

7.设 * 为Z?上的二元运算?x,y?Z?,

X * Y = min ( x,y ),即x和y之中较小的数.

(1)求4 * 6,7 * 3。 4, 3

(2)* 在Z上是否适合交换律,结合律,和幂等律? 满足交换律,结合律,和幂等律

(3)求*运算的单位元,零元及Z?中所有可逆元素的逆元。 单位元无,零元1, 所有元素无逆元

8.S?Q?Q Q为有理数集,*为S上的二元运算,,

< a,b >* =

S有

?离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案

(1)*运算在S上是否可交换,可结合?是否为幂等的? 不可交换:*= ?< a,b >*

可结合:(*)*=*= *(*)=*= (*)*=*(*) 不是幂等的

(2)*运算是否有单位元,零元? 如果有请指出,并求S中所有可逆元素的逆元。 设是单位元,

S ,*= *=

==,解的=<1,0>,即为单位。 设是零元,

S ,*= *=

==,无解。即无零元。

S,设是它的逆元*= *=<1,0>

==<1,0> a=1/x,b=-y/x

所以当x?0时,?x,y??1?1y,? xx10.令S={a,b},S上有四个运算:*,分别有表10.8确定。

(a) (b) (c) (d)

(1)这4个运算中哪些运算满足交换律,结合律,幂等律? (a) 交换律,结合律,幂等律都满足, 零元为a,没有单位元; (b)满足交换律和结合律,不满足幂等律,单位元为a,没有零元

a?1?a,b?1?b

(c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律 a?(b?b)?a?a?b, a?(b?b)?(a?b)?b 没有单位元, 没有零元

(d) 不满足交换律,满足结合律和幂等律 没有单位元, 没有零元

(a?b)?b?a?b?a

离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案

(2)求每个运算的单位元,零元以及每一个可逆元素的逆元。 见上

16.设V=〈 N,+ ,〉,其中+ ,分别代表普通加法与乘法,对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数,为什么?

(1)S1=(2)S2=

不是 加法不封闭

(3)S3 = {-1,0,1} 不是,加法不封闭

第十一章部分课后习题参考答案

8.设S={0,1,2,3},

为模4乘法,即

y=(xy)mod 4

\?x,y∈S, x

问〈S,

〉是否构成群?为什么?

y=(xy)mod 4?S,

是S上的代数运算。

解:(1) ?x,y∈S, x

(2) ?x,y,z∈S,设xy=4k+r 0?r?3

(x

y)

z =((xy)mod 4)

z=r

z=(rz)mod 4

=(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同理x

(y

z) =(xyz)mod 4 y)

z = x1)=(1

(y

z),结合律成立。

所以,(x(3) ?x∈S, (x

x)=x,,所以1是单位元。

(4)1?1?1,3?1?3, 0和2没有逆元 所以,〈S,

〉不构成群

9.设Z为整数集合,在Z上定义二元运算。如下: \?x,y∈Z,xoy= x+y-2 问Z关于o运算能否构成群?为什么?

解:(1) ?x,y∈Z, xoy= x+y-2?Z,o是Z上的代数运算。 (2) ?x,y,z∈Z,

(xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz),结合律成立。

(3)设e是单位元,?x∈Z, xoe= eox=x,即x+e-2= e+x-2=x, e=2 (4) ?x∈Z , 设x的逆元是y, xoy= yox=e, 即x+y-2=y+x-2=2,

离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案

所以,x?1?y?4?x 所以〈Z,o〉构成群

??10??10?11.设G=?????,????,??10???10??????,?????,证明G关于矩阵乘法构成一个群. ??01??0?1??01??0?1??解:(1) ?x,y∈G, 易知xy∈G,乘法是Z上的代数运算。

(2) 矩阵乘法满足结合律

(3)设??10??01??是单位元,

??(4)每个矩阵的逆元都是自己。 所以G关于矩阵乘法构成一个群. 14.设G为群,且存在a∈G,使得 G={ak∣k∈Z} 证明:G是交换群。

证明:?x,y∈G,设x?ak,y?al,则 xy?akal?ak?l??al?k?alak?yx 所以,G是交换群

17.设G为群,证明e为G中唯一的幂等元。

证明:设eG也是幂等元,则e20?0?e20,即e0?e0e,由消去律知e0?e 18.设G为群,a,b,c∈G,证明

∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣ 证明:先证设(abc)k?e?(bca)k?e 设(abc)k?e,则(abc)(abc)(abc)?(abc)?e, 即 a(bca)(bca)(bca)?(bca)a?1?e 左边同乘a?1,右边同乘a得

(bca)(bca)(bca)?(bca)?(bac)k?a?1ea?e

反过来,设(bac)k?e,则(abc)k?e.

由元素阶的定义知,∣abc∣=∣bca∣,同理∣bca∣=∣cab∣ 19.证明:偶数阶群G必含2阶元。

证明:设群G不含2阶元,?a?G,当a?e时,a是一阶元,当a?e时,a至少是3

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4