离散数学答案屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案
?1，若x为奇数? f (x)=?x
若x为偶数?2，?求f (0), f ({0}), f (1), f ({1}), f ({0,2,4,6,…})，f ({4,6,8}), f
-1
({3,5,7}).
解：f (0)=0, f ({0})={0}, f (1)=1, f ({1})={1},
f ({0,2,4,6,…})=N，f ({4,6,8})={2,3,4}, f -1 ({3,5,7})={6,10,14}. 4. 判断下列函数中哪些是满射的?哪些是单射的?哪些是双射的? (1) f:N?N, f(x)=x2+2 不是满射，不是单射
(2) f:N?N,f(x)=(x)mod 3,x除以3的余数 不是满射，不是单射
?1，若x为奇数 (3) f:N?N,f(x)=? 不是满射，不是单射
?0，若x为偶数?0，若x为奇数 (4) f:N?{0,1},f(x)=? 是满射，不是单射
1，若x为偶数? (5) f:N-{0}?R,f(x)=lgx 不是满射，是单射 (6) f:R?R,f(x)=x-2x-15 不是满射，不是单射
5. 设X={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={
2
第十章部分课后习题参考答案
4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭： （1） 整数集合Z和普通的减法运算。
封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元 （2） 非零整数集合
普通的除法运算。不封闭
（R）和矩阵加法及乘法运算，其中n
2。
（3） 全体n?n实矩阵集合
封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元；
乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；
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（4）全体n?n实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n（5）正实数集合
和运算，其中运算定义为：
不封闭 因为 1?1?1?1?1?1??1?R? （6）n关于普通的加法和乘法运算。
2。不封闭
封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是0，无零元；
乘法无单位元（n?1），零元是0；n?1单位元是1 （7）A = {a1,a2,?,an} n
运算定义如下：
封闭 不满足交换律，满足结合律， （8）S =
关于普通的加法和乘法运算。
封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 （9）S = {0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律 （10）S =
,S关于普通的加法和乘法运算。
加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律
5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。 见上题
7．设 * 为Z?上的二元运算?x,y?Z?，
X * Y = min ( x，y ),即x和y之中较小的数.
(1)求4 * 6，7 * 3。 4, 3
(2)* 在Z上是否适合交换律，结合律，和幂等律？ 满足交换律，结合律，和幂等律
(3)求*运算的单位元，零元及Z?中所有可逆元素的逆元。 单位元无，零元1, 所有元素无逆元
8．S?Q?Q Q为有理数集，*为S上的二元运算，
< a，b >*
S有
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（1）*运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？ 不可交换：
可结合：(
（2）*运算是否有单位元，零元？ 如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。 设
S ，
则
S ，
则
S，设
所以当x?0时，?x,y??1?1y,? xx10．令S={a，b}，S上有四个运算：*，分别有表10.8确定。
(a) (b) (c) (d)
(1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？ (a) 交换律，结合律，幂等律都满足， 零元为a,没有单位元； (b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元
a?1?a,b?1?b
(c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律 a?(b?b)?a?a?b, a?(b?b)?(a?b)?b 没有单位元, 没有零元
(d) 不满足交换律，满足结合律和幂等律 没有单位元, 没有零元
(a?b)?b?a?b?a
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(2)求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。 见上
16．设V=〈 N，+ ，〉，其中+ ，分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？
（1）S1=（2）S2=
是
不是 加法不封闭
（3）S3 = {-1，0，1} 不是，加法不封闭
第十一章部分课后习题参考答案
8.设S={0，1，2，3}，
为模4乘法，即
y=(xy)mod 4
\?x,y∈S, x
问〈S，
〉是否构成群？为什么？
y=(xy)mod 4?S,
是S上的代数运算。
解：(1) ?x,y∈S, x
(2) ?x,y,z∈S,设xy=4k+r 0?r?3
(x
y)
z =((xy)mod 4)
z=r
z=(rz)mod 4
=(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同理x
(y
z) =(xyz)mod 4 y)
z = x1)=(1
(y
z)，结合律成立。
所以，(x(3) ?x∈S, (x
x)=x,，所以1是单位元。
(4)1?1?1,3?1?3, 0和2没有逆元 所以，〈S，
〉不构成群
9.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算。如下： \?x,y∈Z,xoy= x+y-2 问Z关于o运算能否构成群？为什么？
解：(1) ?x,y∈Z, xoy= x+y-2?Z,o是Z上的代数运算。 (2) ?x,y,z∈Z,
(xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立。
(3)设e是单位元，?x∈Z, xoe= eox=x,即x+e-2= e+x-2=x, e=2 (4) ?x∈Z , 设x的逆元是y, xoy= yox=e, 即x+y-2=y+x-2=2,
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所以，x?1?y?4?x 所以〈Z，o〉构成群
??10??10?11.设G=?????,????,??10???10??????,?????，证明G关于矩阵乘法构成一个群． ??01??0?1??01??0?1??解：(1) ?x,y∈G, 易知xy∈G,乘法是Z上的代数运算。
(2) 矩阵乘法满足结合律
(3)设??10??01??是单位元，
??(4)每个矩阵的逆元都是自己。 所以G关于矩阵乘法构成一个群． 14.设G为群，且存在a∈G,使得 G={ak∣k∈Z} 证明：G是交换群。
证明:?x,y∈G，设x?ak,y?al，则 xy?akal?ak?l??al?k?alak?yx 所以，G是交换群
17.设G为群，证明e为G中唯一的幂等元。
证明:设eG也是幂等元，则e20?0?e20，即e0?e0e，由消去律知e0?e 18.设G为群，a,b,c∈G,证明
∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣ 证明：先证设(abc)k?e?(bca)k?e 设(abc)k?e,则(abc)(abc)(abc)?(abc)?e， 即 a(bca)(bca)(bca)?(bca)a?1?e 左边同乘a?1，右边同乘a得
(bca)(bca)(bca)?(bca)?(bac)k?a?1ea?e
反过来，设(bac)k?e,则(abc)k?e.
由元素阶的定义知，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣ 19.证明：偶数阶群G必含2阶元。
证明：设群G不含2阶元，?a?G，当a?e时，a是一阶元，当a?e时，a至少是3