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17 平面向量数量积的坐标表示
时间：45分钟 满分：80分 班级________ 姓名________ 分数________ 一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分) 1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝( ) A．23 B．7 C．－23 D．－7 答案：D 2．若向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论正确的是( ) A．a·b＝1 B．|a|＝|b| C．(a－b)⊥b D．a∥b 答案：C 解析：a·b＝2，选项A错误；|a|＝2，|b|＝2，选项B错误；(a－b)·b＝(1，－1)·(1,1)＝0，选项C正确，故选C. 3．已知向量a＝(0，－23)，b＝(1，3)，则向量a在b方向上的投影为( ) A.3 B．3 C．－3 D．－3 答案：D a·b－6解析：向量a在b方向上的投影为＝＝－3.选D. |b|24．若A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)，则△ABC为( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不等边三角形 答案：C 解析：∵A(1,2)，B(2,3)，C(－3,5)， →→∴AB＝(1,1)，AC＝(－4,3)， →→AB·AC1×－4＋1×31cosA＝＝＝－＜0，∴∠A为钝角，△ABC为钝角三角→→2×255 2|AB||AC|形． →→→5．若向量AB＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·AC＝7，那么n·BC等于( ) A．－2 B．2 C．－2或2 D．0 答案：B →→→→→→解析：n·(AB＋BC)＝n·AB＋n·BC＝7，所以n·BC＝7－n·AB＝7－(6－1)＝2. 71176．与向量a＝(，)，b＝(，－)的夹角相等，且模为1的向量是( ) 222243A．(，－) 554343B．(，－)或(－，) 5555鼎尚出品
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2 21C．(，－) 332 212 21D．(，－)或(－，) 3333答案：B 7117解析：设与向量a＝(，)，b＝(，－)的夹角相等，且模为1的向量为e＝(x，y)，2222则 x＋y＝1???7117x＋y＝x－y??222222 4x＝，??5，解得?3y＝－??5， 4x＝－，??5或?3y＝??5， 故选B. 二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分) →→7．已知点A(4,0)，B(0,3)，OC⊥AB于点C，O为坐标原点，则OA·OC＝________. 144答案： 45→→??OC·AB＝0解析：设点C的坐标为(x，y)，因为OC⊥AB于点C，∴?→→??AC∥AB??x，y·－4，3???3x＋4y－12＝0 ，即＝－4x＋3y＝0 36x＝??25，解得?48y＝??25 144→→，∴OA·OC＝4x＝. 258．已知向量a＝(1，3)，2a＋b＝(－1，3)，a与2a＋b的夹角为θ，则θ＝________. π答案： 3解析：∵a＝(1，3)，2a＋b＝(－1，3)，∴|a|＝2，|2a＋b|＝2，a·(2a＋b)＝2，a·2a＋b1π∴cosθ＝＝，∴θ＝. |a||2a＋b|239．若平面向量a＝(log2x，－1)，b＝(log2x,2＋log2x)，则满足a·b<0的实数x的取值集合为________． ????1?答案：?x? 精心制作仅供参考 鼎尚出品 →→→(2)∵AB⊥CD，CD＝(x,3)， ∴2x＋6×3＝0，∴x＝－9. 11．已知：a＝(4,3)，b＝(－1,2)，m＝a－λb，n＝2a＋b.按照下列条件求λ的值： (1)m与n的夹角为钝角； (2)|m|＝|n|. 解析：(1)因为m与n的夹角为钝角，所以m·n＜0，且m与n不共线． 因为m＝a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，n＝2a＋b＝(7,8)． ??74＋λ＋83－2λ＜0所以?. ?84－λ－73－2λ≠0?52解得λ＞. 9 2(2)因为|m|＝|n|，所以2±2111＝0.解之得λ＝. 54＋λ＋3－2λ2＝7＋8.整理可得5λ－4λ－88222ππ12．已知平面向量a＝(sinα，1)，b＝(1，cosα)，－<α<. 22(1)若a⊥b，求α； (2)求|a＋b|的最大值． 解析：(1)由已知，得a·b＝0， 即sinα＋cosα＝0，∴tanα＝－1. πππ∵－<α<，∴α＝－. 22422222(2)由已知得|a＋b|＝a＋b＋2a·b＝sinα＋1＋cosα＋1＋2(sinα＋cosα)＝3＋π??22sin?α＋?. 4??ππ∵－<α<， 22π?ππ3π2?∴－<α＋<，∴－