概率论与数理统计教程(魏宗舒)第七章答案汇总

. 第七章 假设检验

7.1 设总体??N(?,?2),其中参数?,?2为未知,试指出下面统计假设中哪些是简单假设,哪些是复合假设:

(1)H0:??0,??1; (2)H0:??0,??1; (3)H0:??3,??1; (4)H0:0???3; (5)H0:??0.

解:(1)是简单假设,其余位复合假设

7.2 设?1,?2,?,?25取自正态总体N(?,9),其中参数?未知,x是子样均值,如对检验问题

H0:???0H,??1:?取检验的拒绝域:

c?{(x1,x2,?,x25):|x??0|?c},试决定常数c,使检验的显著性水平为0.05 解:因为??N(?,9),故??N(?,在H0成立的条件下,

P0(|???0|?c)?P(|???035c|?)53

5c???2?1??()??0.053??9) 25?(5c5c)?0.975,?1.96,所以c=1.176。 33227.3 设子样?1,?2,?,?25取自正态总体N(?,?0已知,对假设检验),?0H0:???0,H1:???0,取临界域c?{(x1,x2,?,xn):|??c0},

(1)求此检验犯第一类错误概率为?时,犯第二类错误的概率?,并讨论它们之间的关系;

2(2)设?0=0.05,?0=0.004,?=0.05,n=9,求?=0.65时不犯第二类错误

的概率。

解:(1)在H0成立的条件下,??N(?0,2?0n),此时

1

????0?c0??0 ??P0(??c0)?P0?n?n?

?0??0?所以,c0??0?0n??1??,由此式解出c0??0n?1????0

在H1成立的条件下,??N(?,?02n),此时

?????c0????Pn?n?1(??c0)?P1???0?0??0??(c0???0n)??(n?1????0???0n)

??(?1??????0n)?0由此可知,当?增加时,?1??减小,从而?减小;反之当?减少时,则?增加。 (2)不犯第二类错误的概率为

1???1??(?1???

???0n)?00.65?0.50 3)0.2?1??(?0.605)??(0.605)?0.7274?1??(?0.95?

7.6 设一个单一观测的?子样取自分布密度函数为f(x)的母体,对f(x)考虑统计假设:

?10?x?1H0:f0(x)???0其他?2x0?x?1 H1:f1(x)???0其他试求一个检验函数使犯第一,二类错误的概率满足??2??min,并求其最小值。 解 设检验函数为

?(x)???1x?c(c为检验的拒绝域)

?0其他 2

??2??P0(x?c)?2P1(x?c)?P0(x?c)?2[1?P1(x?c)]?E0?(x)?2[1?E1?(x)]11

???(x)dx?2(1??2x?(x)dx)001?2??(1?4x)?(x)dx0要使??2??min,当1?4x?0时,?(x)?0 当1?4x?0时,?(x)?1

1?1x?1?7?4所以检验函数应取?(x)??,此时,??2??2??(1?4x)dx?。

80?0x?1??47.7 设某产品指标服从正态分布,它的根方差?已知为150小时。今由一批产品中随机抽取了26个,测得指标的平均值为1637小时,问在5%的显著性水平下,能否认为该批产品指标为1600小时?

解 总体??N(?,1502),对假设,H0:??1600,采用U检验法,在H0为真时,检验统计量

u?x-?0?0n?1.2578

临界值u1??/2?u0.975?1.96

|u|?u1??/2,故接受H0。

7.8 某电器零件的平均电阻一直保持在2.64?,根方差保持在0.06?,改变加工工艺后,测得100个零件,其平均电阻为2.62?,根方差不变,问新工艺对此零件的电阻有无显著差异?去显著性水平?=0.01。

解 设改变工艺后电器的电阻为随机变量?,则E???未知,D??(0.06)2, 假设为 H0:??2.64,统计量 u??-?0n??3.33 ?3

由于u1-?/2?u0.995?2.10?|u|,故拒绝原假设。即新工艺对电阻有显著差异。 7.9(1)假设新旧安眠药的睡眠时间都服从正态分布,旧安眠剂的睡眠时间

??N(20.81.8,2),新安眠剂的睡眠时间??N(?,?2),为检验假设

H0:??23.8H1:??23.8

从母体?取得的容量为7的子样观察值计算得

??24.2 s*2?5.27 xn由于?的方差?2未知,可用t检验。

x??024.2?23.8t?n?7?0.461 *sn5.27取a?0.10 t0,10(7?1)??1.4398?t

所以不能否定新安眠药已达到新的疗效的说法。

(2)可以先检验新的安眠剂睡眠时间?的方差是否与旧的安眠剂睡眠时间?的方差一致,即检验假设

H0:?2?(1.8)2。

用?-检验,

2??2*2(n?1)sn?226?5.27??9.76。 2(1.8)2取?=0.10,?0.06(6)=1.635,?0.05(6)=12.592

22?0.06(6)??2??0.05(6)

所以接受H0,不能否认?和?方差相同。如认为?的方差?2

u?24.2?23.87?0.18

1.8取?=0.10,u0.10

??1.27,u?u0.10,所以接受H0。

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