5-5 数列的综合应用
课时规范练 A组 基础对点练
1．(2018·东北三省四市模拟)等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前9项和是( C ) A．9 C．81
B.10 D.90
n＋1
2．(2018·福建质量检测)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2A．－2 C．1
B.－1 D.2
n＋1
＋λ，则λ＝( A )
解析：当n＝1时，a1＝S1＝4＋λ；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2＋λ－(2＋λ)＝2，此
nnnan2a242时＝n－1＝2.当n＝2时，a2＝2＝4，所以＝＝2，解得λ＝－2.故选A. an－12a14＋λm＋3m＋93．已知数列{an}，定直线l：y＝x－，若(n，an)在直线l上，则数列{an}的前
2m＋42m＋4
13项和为( C ) A．10 C．39
B.21 D.78
1
4．等差数列{an}中的a4，a2 016是函数f(x)＝x3－6x2＋4x－1的极值点，则loga1 010＝( D )
41A. 2C．－2
解析：∵f(x)＝x－6x＋4x－1， ∴f′(x)＝3x－12x＋4.
∵a4，a2 016是函数f(x)＝x－6x＋4x－1的极值点， ∴a4，a2 016是f′(x)＝3x－12x＋4＝0的两根． ∴a4＋a2 016＝4.
∵a4，a1 010，a2 016成等差数列， ∴2a1 010＝a4＋a2 016＝4， ∴a1 010＝2， 11∴loga1 010＝－.
42
3*
5．已知an＝(n∈N)，数列{an}的前n项和为Sn，则使Sn>0的n的最小值为( C )
2n－101
1
23
2
2
3
2
B.2 1D.－
2
A．99 C．101
B.100 D.102
6．已知在等差数列{an}中，a1＝120，公差d＝－4，若Sn≤an(n≥2)，其中Sn为数列{an}的前n项和，则n的最小值为( B ) A．60 C．70
解析：Sn＝120n＋
B.62 D.72
nn－1
2
×(－4)＝－2n＋122n，
2
an＝120－4(n－1)＝－4n＋124，
因为Sn≤an，所以－2n＋122n≤－4n＋124， 化简得n－63n＋62≥0， 即(n－1)(n－62)≥0，
解得n≥62或n≤1(与n≥2矛盾，舍去)． 所以n的最小值为62.故选B.
7．(2018·新疆检测)等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，且a1
2
2
S525
＝b1＝1，a4＝b4＝－8，则＝ － .
T511
解析：设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，因为a1＝1，a4＝－8，所以a4－a1＝3db435a1＋a5
＝－9，所以d＝－3.因为b1＝1，b4＝－8，所以＝q＝－8，所以q＝－2.则S5＝
b12b11－q51＋32S525
＝5a3＝5(a4－d)＝－25，T5＝＝＝11，所以＝－.
1－q1－－2T511
8．(2018·沈阳质量监测)在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，则an＝__2
－1
n__.
解析：因为an＋1＝3an－2an－1(n≥2)，所以2
n－1
an＋1－ann－1
＝2(n≥2)，所以an＋1－an＝(a2－a1)2＝
an－an－1
n－2
(n≥2)．又a2－a1＝1，所以an－an－1＝2(n∈N)．
*
，an－1－an－2＝2
n－3
，…，a2－a1＝1，累加得an＝2
n－1
9．已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S3，S4成等差数列，则数列{an}的公比为 1＋5
. 2
10．已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对任意的实数x，y∈R，等式
f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若数列{an}满足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝
则a2 016的值为__4_031__.
f1*
(n∈N)，
－2－an 2
?1?x解析：根据题意，不妨设f(x)＝??(其中x∈R)，
?2?
则a1＝f(0)＝1， ∵f(an＋1)＝
1*
(n∈N)，
－2－anf
∴an＋1＝an＋2.
∴数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴an＝2n－1， ∴a2 016＝4 031.
11．(2016·高考四川卷)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N.
(1)若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；
*
y2222
(2)设双曲线x－2＝1的离心率为en，且e2＝2，求e1＋e2＋…＋en.
an2
解析：(1)由Sn＋1＝qSn＋1，得Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减，得an＋2＝qan＋1，n≥1. 又由S2＝qS1＋1，得a2＝qa1， 故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．
所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列． 从而an＝qn－1
.
由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3， 所以a3＝2a2，故q＝2， 所以an＝2
n－1
(n∈N)．
n－1
*
(2)由(1)可知，an＝q2
.
n－1
y222
所以双曲线x－2＝1的离心率en＝1＋an＝ 1＋qan由e2＝ 1＋q＝2，解得q＝3.
所以e1＋e2＋…＋en＝(1＋1)＋(1＋q)＋…＋[1＋q＝n＋[1＋q＋…＋q2
2(n－1)
2
2
2
2
2
.
2(n－1)
]
]
q2n－1＝n＋2
q－1
1n＝n＋(3－1)．
2
12．(2018·成都检测)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝3，S4＝16，n∈N.
*
3