概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________
第一章 随机事件与概率
习题1.1 P9
2. 在抛三枚硬币的试验中写出下列事件的集合表示:
A=”至少出现一个正面”; B=”最多出现一个正面”; C=”恰好出现一个正面”; D=”出现三面相同”.
5. 设X为随机变量,其样本空间为
??{0?X?2},记事件A?{0.5?X?1}, B?{0.25?X?1.5},写出下列各事件：
（1）AB，（2）A?B，（3）AB，（4）A?B.
6. 对飞机进行两次射击,每次射一弹,设A={恰有一弹击中飞机},B={至少有一弹击中飞机},C={两面三刀弹都击中飞机},D={两面三刀弹都没击中飞机}.又设随机变量X为击中飞机的次数,试用X表示事件A,B,C,D中哪些是互不相容的事件?哪些是对立的事件?
9. 请叙述下列事件的对立事件: (1) A=”掷两枚硬币,皆为正面”; (2) B=”射击三次,皆命中目标”;
(3) C=”加工四个零件,至少有一个合格品”.
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习题1.2 P28
3. 任取两个正整数,求它们的和为偶数的概率.
11. 口袋中有10个球,分别标有号码1至10,现从中不返回地任取3个,记下取出球的号码,试求: (1) 最小号码为5的概率; (2) 最大号码为5的概率.
12. 掷三颗骰子，求以下事件的概率： (1)所得的最大点数小于等于5; (2)所得的最大点数等于5.
15. 5个人在第一层进入十一层楼的电梯,假如每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始),求此5个人在不同楼层走出的概率.
20. 将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率各为多少?
22. 将n个完全相同的球(这时也称球是不可辨的)随机地放入N个盒子中,试求:
(1) 某个指定的盒子中恰好有k个球的概率; (2) 恰好有m个空盒的概率;
(3) 某指定的m个盒子中恰好有j个球的概率.
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23. 在区间(0,1)中随机地取两个数,求事件”两数之和小于6/5”的概率.
24. 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的. 如果甲船的停泊时间是一小时,乙船的停泊时间是两小时,求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少?
27. 设一个质点落在xoy平面上由x轴y轴及直线x+y=1所围成的三角形内,而落在这三角形内各点处的可能性相等,即落在这三角形内任何区域上的概率与这区域的面积成正比,试求此质点落在直线x=1/3的左边的概率是多少?
习题1.3 P36
4. 从0,1,2,…,9等十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率: (1)A1?{三个数字中不含0和5}; (2)A2?{三个数字中不含0或5}; (3)A3?{三个数字中含0但不含5}.
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8. 从数字1,2,…,9中可重复地任取n次, 求n次所取数字的乘积能被10整除的概率.
10. 甲掷硬币n+1次, 乙掷n次. 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.
14. 某班n个战士各有1支归个人保管使用的枪, 这些枪的外形完全一样, 在一次夜间紧急集合中, 每人随机地取了1支枪, 求至少有1人拿到自己的枪的概率. 18.
设
P(A)?P(B)?1/2, 试证
,P(AB)?P(A?B)
19. 对任意的事件A, B, C, 证明: (1)P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A); (2)
P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A)?P(B)?P(C)?1
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22. 证明:
(1)P(AB)?P(A)?P(B)?1; (2)
求P(B|A?B)
13. 甲口袋有a个黑球,b个白球, 乙口袋有n个黑球,m个白球.
(1) 从甲口袋任取1个球放入乙口袋, 然后再从乙
口袋任取1个球,试求最后从乙口袋取出的是黑球的概率.
(2) 从甲口袋任取2个球放入乙口袋, 然后再从乙
口袋任取1个球, 试求最后从乙口袋取出的是黑球的概率.
16. 钥匙掉了, 掉在宿舍里,掉在教室里,掉在路上的概率分别是40%,35%和25%,而掉在上述三处地方被找到的概率分别是0.8,0.3和0.1, 试求找到钥匙的概率.
18. 有两箱零件, 第一箱装50件, 其中10件是一等品; 第二箱装30件, 其中18件是一等品, 现从两箱中随意挑出一箱,然而从该箱中先后任取两个零件, 试求:
3
P(A1A2?An)?P(A1)?P(A2)???P(An)?(n?1)
习题1.4 P48
4. 设某种动物由出生活到10岁的概率为0.8, 而活到15岁的概率为0.4. 问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少?
6. 设n件产品中有m件不合格品, 从中任取两件, 已知两件中有一件是不合格品, 求另一件也是不合格品的概率 .
9. 已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5,
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(1) 第一次取出的零件是一等品的概率;
(2) 在第一次取出的是一等品的条件下,第二次取
出的零件仍然是一等品的概率.
19. 学生在做一道有4个选项的单项选择题时,如果他不知道总是的正确答案时,就作随机猜测. 现从卷面上看题是答对了, 试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率.
(1) 学生知道正确答案和胡乱猜测的概率是1/2. (2) 学生知道正确答案的概率是0.2.
27. 设P(A)>0, 试证P(B|A)?1?
28. 若事件A与B互不相容, 且P(B)?0, 证明:
31. 设P(A)?p,P(B)?1??, 证明:
p??p ?P(A|B)?1??1??
习题1.5 P55
3. 甲乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.7,现已知目标被击中,求它是甲射中的概率.
5. 在一小时内甲,乙,丙三台机床需维修的概率分别是0.9,0.8和0.85,求一小时内
(1) 没有一台机床需要维修的概率; (2) 至少有一台机床不需要维修的概率; (3) 至多只有一台机床需要维修的概率.
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P(B) P(A)P(A|B)?
P(A)
1?P(B)概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________
6. 设A1,A2,A3相互独立,且P(Ai)?1/3,I=1,2,3. 试求A1,A2,A3中 (1) 至少出现一个的概率; (2) 恰好出现一个的概率; (3) 最多出现一个的概率.
8. 假设P(A)?0.4,P(A?B)?0.7, 在以下情况下求P(B): (1) A, B不相容; (2) A, B独立;
(3) A?B.
14. 每次射击命中率为0.2, 试求:射击多少次才能使至少击中一次的概率不小于0.9?
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22. 设A,B,C三事件相互独立, 试证A-B与C独立.
23. 设0 第二章 随机变量及其分布 习题2.1 P73 2. 一颗骰子抛两次,以X表示两次中所得的最小点数. (1) 试求X的分布列; (2) 写出X的分布函数, 并作图.