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上海奉贤区2019届高三数学一模试卷（带答案）
上海市奉贤区2019届高三一模数学试卷 2018.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知 ， ，则 2. 双曲线 的一条渐近线的一个方向向量 ，则 3. 设函数 的图像经过点 ，则 的反函数 4. 在 的展开式中， 的系数为 5. 若复数 （ 是虚数单位）的实部与虚部相等，则复数 的共轭复数的模等于 6. 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率是 7. 在△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，面积为 ，若 ，则角B的值为 （用反正切表示） 8. 椭圆 上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则 的取值范围为 9. 函数 对任意的 ，有 ，设函数 ，且 在区间 上单调递增，若 ，则实数 的取值范围为 10. 天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支. 十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸 十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥 天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2016年为丙申年，那么到改革开放100年时，即2078年为 年 11. 点 在曲线 上运动， 是曲线第二象限上的定点， 的纵坐标是 ， ， ，若 ，则 的最大值是 12. 设 ， 是曲线 的两点，则 的最大值是 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列以行列式表达的结果中，与 相等的是（ ） A. B. C. D. 14. 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 15. 各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 若三个非零且互不相等的实数 、 、 成等差数列且满足 ，则称 、 、 成“ 等差数列”，已知集合 ，则由 中的三个元素组成的所有数列中，“ 等差数列”
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的个数为（ ） A. 25 B. 50 C. 51 D. 100
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，三棱柱 中， 底面 ， ， 是 的中点. （1）求证： 平面 ； （2）若 ， ，三棱柱 的体积是 ，求异面直线 与 所成角的大小.
18. 函数 （ ， ）在一个周期内的图像经过 ， ， 三点，求 的表达式.
19. 入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重，市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数 与时刻 （时）的函数关系为 ， ，其中 为空气治理调节参数，且 . （1）若 ，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低； （2）规定每天中 的最大值最为当天空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数 应控制在什么范围内？
20. 已知抛物线 上的 、 两点满足 ，点 、 在抛物线对称轴的左右两侧，且 的横坐标小于零，抛物线顶点为 ，焦点为 . （1）当点 的
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横坐标为2，求点 的坐标； （2）抛物线上是否存在点 ，使得 （ ），若请说明理由； （3）设焦点 关于直线 的对称点是 ，求当四边形 面积最小值时点 的坐标.
21. 若对任意的正整数 ，总存在正整数 ，使得数列 的前 项和 ，则称数列 是“回归数列”. （1）前 项和为 的数列 是否是“回归数列”？并请说明理由； （2）设 是等差数列，首项 ，公差 ，若 是“回归数列”，求 的值； （3）是否对任意的等差数列 ，总存在两个“回归数列” 和 ，使得 （ ）成立，请给出你的结论，并说明理由. 参考答案
一. 填空题 1. 2. 3. ， 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 戊戌 11. 12. 二. 选择题 13. C 14. A 15. B 16. B
三. 解答题 17、（1）因为 底面ABC，所以 ……1分 又 ，D是BC的中点， ……2分 与 交于 ……1分 所以 平面 ……2分 （2）根据 求得 的面积等于4 ……2分 三棱柱 的体积是 ……2分 如图所示，建立空间直角坐标系， 异面直线 和 所成的角为 所成的角为 . ……4分
18、（1）当 是半周期内的两个相邻的零点， 则 ……2分 ……4分 所以函数 ……1分 （2）当 是一周期内的两个不相邻的零点， 则 ……2分 ……4分 所以函数 ……1分 19、（1） ……2分 ……4分 当且仅当 时，一天中凌晨4时该市的空气污染指数最低 ……2分 （2） ……2分 单调递增 ∴ ……2分 ……2分
20、（1） ，则 ，所以 ……3分 （2）由条件知 ，把 代入得 ……2分 有2个点 ……1分 点存在 ……1分 点有4个 ……1分 点有2个 ……1分 点不存在 ……1分 （五类，一类1分）（3） ，解得 ……1分 设直线 的方程为 联立 得 ，得 ，所以直线经过定点 ……1