2015高中数学 2.2直接证明与间接证明练习 新人教A版选修2-2
一、选择题
1．(2013·陕西理，7)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcos C＋
ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 C．钝角三角形 [答案] B
[解析] 由正弦定理得sinBcosC＋sinCcosB＝sinA，所以，sin(B＋C)＝sinA，∴sinAπ2
＝sinA，而sinA>0，∴sinA＝1，A＝，所以△ABC是直角三角形．
2
2．(2013·浙江理，3)已知x、y为正实数，则( ) A．2C．2
lgx＋lgy2
2
B．直角三角形 D．不确定
＝2＋2 ＝2＋2
lgxlgylgxlgyB．2D．2
lg(x＋y)
＝2·2
lgxlgylgxlgylgx·lgylg(xy)
＝2·2
[答案] D [解析] 2
lg(xy)
＝2
(lgx＋lgy)
＝2·2.
lgxlgy3．设a、b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有( ) A．1≤ab≤C．ab<
a2＋b2
2
B．ab<1 a2＋b2 2 a2＋b2 2 <1 a2＋b2 2 <1 [答案] B ?a＋b?2 [解析] ab 4．设0 11－x－1x[解析] 因为b－c＝(1＋x)－＝＝－＜0，所以b 1－x1－x1－x2 2 22 1 中最大的一个是( ) 1－xB．b D．不能确定 x)2>2x>0，所以b＝1＋x>2x＝a，所以a 13 [点评] 可用特值法：取x＝，则a＝1，b＝，c＝2. 225．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么( ) 1 A．x B．2xy x＋y22 x＋yx＋y[答案] D 31x＋y13x＋y[解析] ∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，则＝，2xy＝.所以有x<2xy< 442282 ?1?x?a＋b?，B＝f(ab)，C＝f?2ab?，则A、B、＋ 6．已知函数f(x)＝??，a、b∈R，A＝f???a＋b??2??2??? C的大小关系为( ) A．A≤B≤C C．B≤C≤A [答案] A [解析] ∴f( B．A≤C≤B D．C≤B≤A a＋b2 ≥ab≥ 2ab1x ，又函数f(x)＝()在(－∞，＋∞)上是单调减函数， a＋b22ab)． a＋ba＋b2 )≤f(ab)≤f(二、填空题 7．已知a>0，b>0，m＝lg[答案] m>n [解析] 因为(a＋b)＝a＋b＋2ab>a＋b>0，所以 2 a＋b2 ，n＝lg a＋b2 ，则m与n的大小关系为________． a＋b2 > a＋b2 ，所以m>n. 8．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，则a、b、c的大小关系为________． [答案] a>c>b [解析] b＝ 2 2 47＋3 ，c＝ 46＋2 ，显然b 2 而a＝2，c＝8－212＝8－48<8－36＝2＝a， 所以a>c. 也可用a－c＝22－6＝8－6>0显然成立，即a>c. 9．如果aa＋bb>ab＋ba，则实数a、b应满足的条件是________． [答案] a≠b且a≥0，b≥0 [解析] aa＋bb>ab＋ba?aa＋bb－ab－ba>0?a(a－b)＋b(b－ a)>0?(a－b)(a－b)>0?(a＋b)(a－b)2>0 只需a≠b且a，b都不小于零即可． 2 三、解答题 10．(2013·华池一中高三期中)已知n∈N，且n≥2，求证：[证明] 要证1 >n－n－1， ， * 1 n>n－n－1. n即证1>n－nn－只需证nn－>n－1， 2 ∵n≥2，∴只需证n(n－1)>(n－1)， 只需证n>n－1，只需证0>－1， 最后一个不等式显然成立，故原结论成立． 一、选择题 11．(2013·大庆实验中学高二期中)设函数f(x)的导函数为f ′(x)，对任意x∈R都有f ′(x)>f(x)成立，则( ) A．3f(ln2)>2f(ln3) C．3f(ln2)＝2f(ln3) [答案] B [解析] 令F(x)＝ B．3f(ln2)<2f(ln3) D．3f(ln2)与2f(ln3)的大小不确定 fxx(x>0)，则F′(x)＝ fx－fx2x，∵x>0，∴lnx∈R，∵对任意x∈R都有f ′(x)>f(x)，∴f′(lnx)>f(lnx)，∴F′(x)>0，∴F(x)为增函数，∵3>2>0，∴F(3)>f(2)，即 f3 >f2 ，∴3f(ln2)<2f(ln3)． 333 12．要使a－b 3 B．ab>0且a>b D．ab>0且a>b或ab<0且a a－b 333333 33 ∴当ab>0时，有b 当ab<0时，有b>a，即b>a. 14y2 13．(2014·哈六中期中)若两个正实数x、y满足＋＝1，且不等式x＋ xy4 3